Limites et continuité — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

I. مفهوم النهاية

نهاية منتهية عند نقطة

نقول إن الدالة f تقبل $ℓ$ كنهاية عند a، ونرمز لذلك بـ $x \to a lim f (x) = ℓ$ ، إذا أمكن جعل f(x) قريبة من $ℓ$ بالقدر الذي نريده كلما اقترب x بما فيه الكفاية من a.

نهاية لا منتهية

$x \to a lim f (x) = + \infty$ : تتجاوز f(x) أي عدد حقيقي M عندما يقترب x من a.
$x \to + \infty lim f (x) = ℓ$ : تقترب f(x) من $ℓ$ عندما يصبح x كبيرا جدا.

الوحدانية: إذا كانت النهاية موجودة، فهي وحيدة.

II. النهايات المرجعية

يجب حفظها عن ظهر قلب

$x \to + \infty lim x^{n} = + \infty$ ( $n \in N^{*}$ )
$x \to - \infty lim x^{n} = + \infty$ إذا كان n زوجيا ؛ $- \infty$ إذا كان n فرديا
$x \to \pm \infty lim \frac{1}{x ^{n}} = 0$
$x \to 0^{+} lim \frac{1}{x} = + \infty$ ؛ $x \to 0^{-} lim \frac{1}{x} = - \infty$
$x \to + \infty lim x = + \infty$ ؛ $x \to 0^{+} lim x = 0$

النهايات المثلثية الأساسية

$x \to 0 lim \frac{sin ( x )}{x} = 1$
$x \to 0 lim \frac{1 - cos ( x )}{x ^{2}} = \frac{1}{2}$
$x \to 0 lim \frac{tan ( x )}{x} = 1$

III. العمليات على النهايات

لتكن $lim f = ℓ$ و $lim g = ℓ^{'}$ ( $ℓ, ℓ^{'}$ منتهية أو لا منتهية). إذن:

المجموع: $lim (f + g) = ℓ + ℓ^{'}$ (باستثناء الشكل غير المحدد " $+ \infty - \infty$ ")
الجداء: $lim (f \cdot g) = ℓ \cdot ℓ^{'}$ (باستثناء " $0 \cdot \infty$ ")
الخارج: $lim (f / g) = ℓ / ℓ^{'}$ (باستثناء " $0/0$ " و " $\infty/\infty$ " و $ℓ^{'} = 0$ )

الأشكال الأربعة غير المحددة (FI)

$+ \infty - \infty$ $0 \cdot \infty$ $\infty/\infty$ $0/0$

IV. إزالة الأشكال غير المحددة

كثيرات الحدود في $\pm \infty$

نهاية كثير الحدود في $\pm \infty$ هي نهاية حده الأعلى درجة.

مثال: $x \to + \infty lim (x^{3} - 5 x^{2} + 2) = x \to + \infty lim x^{3} = + \infty$ .

الدوال الجذرية في $\pm \infty$

نهاية دالة جذرية في $\pm \infty$ هي نهاية خارج حديها الأعلى درجة.

مثال: $x \to + \infty lim \frac{2 x ^{2} + 1}{3 x ^{2} - x} = x \to + \infty lim \frac{2 x ^{2}}{3 x ^{2}} = \frac{2}{3}$ .

الجذور: الضرب في المرافق

مثال: $x \to + \infty lim (x + 1 - x)$ . نضرب البسط والمقام في $x + 1 + x$ :

$= x \to + \infty lim \frac{x + 1 - x}{x + 1 + x} = x \to + \infty lim \frac{1}{x + 1 + x} = 0$ .

الشكل 0/0: التعميل

مثال: $x \to 2 lim \frac{x ^{2} - 4}{x - 2} = x \to 2 lim \frac{( x - 2 ) ( x + 2 )}{x - 2} = x \to 2 lim (x + 2) = 4$ .

V. مبرهنات المقارنة

مبرهنة الدركيين

إذا كان، في جوار a، لدينا $u (x) \leq f (x) \leq v (x)$ و $lim u = lim v = ℓ$ ، فإن $lim f = ℓ$ .

المقارنة في اللانهاية

إذا كان $f (x) \geq u (x)$ و $lim u = + \infty$ ، فإن $lim f = + \infty$ .
إذا كان $f (x) \leq v (x)$ و $lim v = - \infty$ ، فإن $lim f = - \infty$ .

الانتقال إلى النهاية في المتفاوتات

إذا كان $f (x) \leq g (x)$ في جوار a و $lim f = ℓ$ ، $lim g = ℓ^{'}$ ، فإن $ℓ \leq ℓ^{'}$ .

VI. النهاية والتركيب

تركيب النهايات

إذا كان $x \to a lim f (x) = b$ و $u \to b lim g (u) = ℓ$ ، فإن $x \to a lim g (f (x)) = ℓ$ .

مثال: $x \to + \infty lim sin (1/ x)$ . نضع $u = 1/ x$ . عندما $x \to + \infty$ ، فإن $u \to 0$ ، و $sin (u) \to 0$ . إذن النهاية تساوي 0.

VII. الاتصال في نقطة

تعريف

f متصلة في a ( $a \in D_{f}$ ) إذا كان:

$x \to a lim f (x) = f (a)$

f متصلة على مجال I إذا كانت متصلة في كل نقطة من I.

الاتصال على اليمين / على اليسار

متصلة على اليمين في a: $x \to a^{+} lim f (x) = f (a)$
متصلة على اليسار في a: $x \to a^{-} lim f (x) = f (a)$

f متصلة في a $\Leftrightarrow$ متصلة على اليمين و على اليسار في a.

VIII. العمليات والاتصال

الاستقرار

إذا كانت f و g متصلتين في a، فإن:

$f + g$ ، $λ \cdot f$ ، $f \cdot g$ متصلة في a.
$f / g$ متصلة في a إذا كان $g (a) \neq = 0$ .
$g \circ f$ متصلة في a إذا كانت g متصلة في f(a).

الدوال الاعتيادية المتصلة

متصلة على مجال تعريفها: كثيرات الحدود، الدوال الجذرية، ، sin، cos، tan، $∣ x ∣$ .

IX. مبرهنة القيم الوسيطية (TVI)

مبرهنة (TVI)

لتكن f دالة متصلة على $[a, b]$ . لكل عدد حقيقي k محصور بين f(a) و f(b)، يوجد على الأقل $c \in [a, b]$ بحيث $f (c) = k$ .

نتيجة (الحالة الرتيبة قطعا)

إذا كانت f متصلة و رتيبة قطعا على $[a, b]$ ، فلكل k بين f(a) و f(b)، يوجد وحيد $c \in [a, b]$ بحيث $f (c) = k$ .

تطبيق: وجود جذر

إذا كانت f متصلة و $f (a) \cdot f (b) < 0$ ، فإن المعادلة $f (x) = 0$ تقبل على الأقل حلا واحدا في $] a, b [$ .

مثال: $f (x) = x^{3} + x - 1$ متصلة على $R$ . $f (0) = - 1 < 0$ و $f (1) = 1 > 0$ $\Rightarrow$ $\exists c \in] 0, 1 [$ : $f (c) = 0$ . بالإضافة إلى ذلك، f تزايدية قطعا (مجموع دوال تزايدية) $\Rightarrow$ الحل وحيد.

X. صورة مجال

مبرهنة

صورة مجال بدالة متصلة هي مجال.

إذا كانت f متصلة على $[a, b]$ (قطعة مغلقة ومحدودة)، فإن $f ([a, b]) = [m, M]$ حيث $m = min f$ و $M = max f$ : f تبلغ حديها.

📈 Figure clé

Courbe de

f (x) = \frac{1}{x}

: asymptotes

x = 0

y = 0

🔑 Formules clés à retenir

النهايات المرجعية: $\frac{1}{x ^{n}} \to 0$ عند $\pm \infty$ · $\frac{s i n ( x )}{x} \to 1$ عند $0$ · $\frac{1 - c o s x}{x ^{2}} \to \frac{1}{2}$
كثير الحدود عند ±∞: النهاية = الحد المهيمن · الدالة الجذرية: خارج قسمة الحدين المهيمنين
4 أشكال غير محددة (FI): $\infty - \infty$ , $0 \cdot \infty$ , $\frac{\infty}{\infty}$ , $\frac{0}{0}$ (تزال بالتعميل أو بالمرافق)
مبرهنة الدركيين: $u \leq f \leq v$ و $lim u = lim v = ℓ$ $\Rightarrow$ $lim f = ℓ$
الاتصال في a: $x \to a lim f (x) = f (a)$
مبرهنة القيم الوسيطية (TVI): إذا كانت $f$ متصلة على $[a, b]$ ، و $k$ محصور بين $f (a)$ و $f (b)$ $\Rightarrow$ $\exists c \in [a, b]$ ، $f (c) = k$
مبرهنة القيم الوسيطية مع رتابة قطعية: وحيدة $c$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 أخطاء شائعة

❌

الشكل غير المحدد 0/0: لا تستنتج أبدًا أن "النهاية غير موجودة". يجب إزالة حالة عدم التحديد (التعميل، الضرب في المرافق، المقارنة). مثال: $x \to 1 lim \frac{x ^{2} - 1}{x - 1} = x \to 1 lim (x + 1) = 2$ .

❌

مبرهنة القيم الوسيطية (TVI): الفرضيات ضرورية: يجب أن تكون الدالة f متصلة على $[a, b]$ ويجب أن يكون k بين $f (a)$ و $f (b)$ . إذا لم تكن f متصلة، فإن مبرهنة القيم الوسيطية لا تنطبق!

❌

النهايات على اليسار ≠ النهايات على اليمين: بالنسبة لدالة كسرية مقامها ينعدم، يمكن أن تكون النهايات على اليسار وعلى اليمين ذات إشارتين متعاكستين ( $+ \infty$ من جهة، $- \infty$ من الجهة الأخرى).

🟢 نصائح احترافية

✅

إزالة حالة عدم التحديد $\infty - \infty$ : التعميل بالحد المهيمن. مثال: $x \to + \infty lim (x^{2} + 1 - x)$ ← الضرب في المرافق $(x^{2} + 1 + x)$ في البسط والمقام.

✅

الاتصال والقيمة عند نقطة: إذا كانت f متصلة عند a، فإن حساب النهاية يعود إلى حساب $f (a)$ . بالنسبة للدوال "اللطيفة المركبة" (كثيرات الحدود، sin، cos، exp، ln)، يكون الأمر مباشراً.

💡

استخدام مبرهنة القيم الوسيطية لإثبات وجود حل: إذا كانت f متصلة وتغير إشارتها على $[a, b]$ ( $f (a) \cdot f (b) < 0$ )، فإن المعادلة $f (x) = 0$ لها على الأقل حل واحد في $] a, b [$ . طريقة التفرع الثنائي (dichotomie) تسمح بتقريب هذا الحل.

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

طرق نموذجية — النهايات والاستمرارية

النوع 1: حساب نهاية بعمليات مباشرة

متى؟ نهاية مجموع أو جداء أو خارج قسمة بدون شكل غير محدد (بالتعويض، نحصل على عدد أو حالة واضحة).

عوّض $x$ بالقيمة المستهدفة (أو انظر السلوك عند $\pm \infty$ ).
طبّق المبرهنات على العمليات: نهاية مجموع = مجموع النهايات، إلخ.
بالنسبة لكثير حدود/كسر نسبي عند $\pm \infty$ ، احتفظ بالحد ذي الدرجة الأعلى.
استنتج بإعطاء القيمة المنتهية أو $\pm \infty$ .

مثال سريع: $x \to + \infty lim (2 x^{3} - 5 x) = x \to + \infty lim 2 x^{3} = + \infty$ .

النوع 2: رفع شكل غير محدد $\frac{0}{0}$ (كسر نسبي)

متى؟ بتعويض $x$ بـ $a$ ، البسط والمقام ينعدمان معاً: نحصل على $\frac{0}{0}$ .

بما أن $a$ جذر مشترك، حلّل بـ $(x - a)$ البسط والمقام.
بسّط العامل $(x - a)$ .
عوّض من جديد $x$ بـ $a$ في العبارة المبسطة.
استنتج النهاية.

مثال سريع: $x \to 2 lim \frac{x ^{2} - 4}{x - 2} = x \to 2 lim \frac{( x - 2 ) ( x + 2 )}{x - 2} = x \to 2 lim (x + 2) = 4$ .

النوع 3: شكل غير محدد مع جذر (المقدار المرافق)

متى؟ الشكل غير المحدد ( $\frac{0}{0}$ أو $\infty - \infty$ ) يحتوي على .

اضرب البسط والمقام في المقدار المرافق (غيّر الإشارة بين الحدين تحت الجذر).
استعمل المتطابقة $(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}$ لإزالة الجذر.
بسّط ثم عوّض $x$ بالقيمة المستهدفة.

مثال سريع: $x \to 0 lim \frac{x + 1 - 1}{x} = x \to 0 lim \frac{x}{x ( x + 1 + 1 )} = \frac{1}{2}$ .

النوع 4: النهايات الاعتيادية المثلثية

متى؟ يظهر $sin$ ، $tan$ أو $1 - cos$ عند $0$ مؤدياً إلى $\frac{0}{0}$ .

احفظ: $x \to 0 lim \frac{sin x}{x} = 1$ ، $x \to 0 lim \frac{tan x}{x} = 1$ ، $x \to 0 lim \frac{1 - cos x}{x ^{2}} = \frac{1}{2}$ .
أظهر الشكل الاعتيادي بالضرب/القسمة على العامل المناسب (اضبط المتغير: $\frac{sin ( a x )}{a x}$ ).
عوّض بقيمة النهاية الاعتيادية، ثم اجمع.

مثال سريع: $x \to 0 lim \frac{sin ( 3 x )}{x} = x \to 0 lim 3 \cdot \frac{sin ( 3 x )}{3 x} = 3$ .

النوع 5: نهاية بالحصر (مبرهنة الشرطيين)

متى؟ وجود $sin$ ، $cos$ أو $(- 1)^{n}$ محدودة، مضروبة في دالة تؤول إلى $0$ .

احصر الجزء المحدود: مثلاً $- 1 \leq sin (\dots) \leq 1$ .
اضرب الحصر في العامل (انتبه للإشارة).
تحقق من أن الحدين يؤولان إلى نفس النهاية $ℓ$ .
استنتج بمبرهنة الشرطيين: $lim f = ℓ$ .

مثال سريع: $x sin \frac{1}{x} \leq ∣ x ∣ \to 0$ ، إذن $x \to 0 lim x sin \frac{1}{x} = 0$ .

النوع 6: دراسة الاستمرارية في نقطة

متى؟ دالة معرفة بفترات، أو «هل $f$ مستمرة عند $x_{0}$ ؟».

تحقق من أن $f (x_{0})$ موجودة (احسب قيمتها).
احسب $x \to x_{0} lim f (x)$ ؛ لدالة بفترات، احسب النهاية من اليسار ومن اليمين.
قارن: $f$ مستمرة عند $x_{0}$ إذا وفقط إذا $x \to x_{0} lim f (x) = f (x_{0})$ (النهايات من اليسار واليمين تساوي $f (x_{0})$ ).
استنتج: مستمرة أم لا.

مثال سريع: $f (x) = \frac{x ^{2} - 1}{x - 1}$ لـ $x \neq = 1$ و $f (1) = 2$ . بما أن $x \to 1 lim \frac{x ^{2} - 1}{x - 1} = 2 = f (1)$ ، فإن $f$ مستمرة عند $1$ .

النوع 7: الإطالة بالاستمرارية

متى؟ $f$ غير معرفة عند $x_{0}$ (غالباً ثقب $\frac{0}{0}$ ) ويُطلب إطالتها بالاستمرارية.

تحقق من أن $x \to x_{0} lim f (x)$ موجودة ومنتهية؛ سمّها $ℓ$ .
عرّف الدالة الممتدة $g$ بـ: $g (x) = f (x)$ إذا $x \neq = x_{0}$ و $g (x_{0}) = ℓ$ .
استنتج: $g$ هي الإطالة بالاستمرارية لـ $f$ عند $x_{0}$ (إذا لم توجد النهاية أو كانت لانهائية، الإطالة مستحيلة).

مثال سريع: $f (x) = \frac{sin x}{x}$ غير معرفة عند $0$ ؛ $x \to 0 lim \frac{sin x}{x} = 1$ ، نضع $g (0) = 1$ .

النوع 8: وجود حل (مبرهنة القيم المتوسطة)

متى؟ «أثبت أن المعادلة $f (x) = 0$ تقبل (على الأقل / بالضبط) حلاً في $[a; b]$ ».

برر أن $f$ مستمرة على $[a; b]$ .
احسب $f (a)$ و $f (b)$ وأثبت أنهما مختلفا الإشارة: $f (a) \cdot f (b) < 0$ .
استنتج بمبرهنة القيم المتوسطة: يوجد على الأقل $c \in] a; b [$ بحيث $f (c) = 0$ .
للوحدانية، أضف أن $f$ متزايدة أو متناقصة تماماً على $[a; b]$ .

مثال سريع: $f (x) = x^{3} + x - 1$ مستمرة، $f (0) = - 1 < 0$ و $f (1) = 1 > 0$ ، إذن $f (x) = 0$ لها حل في $] 0; 1 [$ .

Limites et continuité — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

Exercices interactifs

79 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 79 corrigés

Exercices Faciles

23 exercices

نهايات الدوال الحدودية والجذرية

Facile

Énoncé

أحسب النهايات التالية :

$x \to + \infty lim (3 x^{2} - 5 x + 7)$
$x \to - \infty lim (- 2 x^{3} + x^{2} - 4)$
$x \to + \infty lim \frac{4 x ^{2} + 1}{2 x ^{2} - 3 x}$
$x \to + \infty lim \frac{x ^{2} + 2}{x ^{3} - 1}$
$x \to - \infty lim \frac{5 x ^{3} - x}{x ^{2} + 2}$

Ma réponse

Limites et continuité

Limites et continuité — Résumé de cours

Cours complet

Contenu du cours

I. مفهوم النهاية

نهاية منتهية عند نقطة

نهاية لا منتهية

II. النهايات المرجعية

يجب حفظها عن ظهر قلب

النهايات المثلثية الأساسية

III. العمليات على النهايات

الأشكال الأربعة غير المحددة (FI)

IV. إزالة الأشكال غير المحددة

كثيرات الحدود في ±∞

الدوال الجذرية في ±∞

الجذور: الضرب في المرافق

الشكل 0/0: التعميل

V. مبرهنات المقارنة

مبرهنة الدركيين

المقارنة في اللانهاية

الانتقال إلى النهاية في المتفاوتات

VI. النهاية والتركيب

تركيب النهايات

VII. الاتصال في نقطة

تعريف

الاتصال على اليمين / على اليسار

VIII. العمليات والاتصال

الاستقرار

الدوال الاعتيادية المتصلة

IX. مبرهنة القيم الوسيطية (TVI)

مبرهنة (TVI)

نتيجة (الحالة الرتيبة قطعا)

تطبيق: وجود جذر

X. صورة مجال

مبرهنة

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

🔴 أخطاء شائعة

🟢 نصائح احترافية

Méthodes types

طرق نموذجية — النهايات والاستمرارية

النوع 1: حساب نهاية بعمليات مباشرة

النوع 2: رفع شكل غير محدد 00​ (كسر نسبي)

النوع 3: شكل غير محدد مع جذر (المقدار المرافق)

النوع 4: النهايات الاعتيادية المثلثية

النوع 5: نهاية بالحصر (مبرهنة الشرطيين)

النوع 6: دراسة الاستمرارية في نقطة

النوع 7: الإطالة بالاستمرارية

النوع 8: وجود حل (مبرهنة القيم المتوسطة)

Limites et continuité — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

نهايات الدوال الحدودية والجذرية

نهايات دالة (شكل 0/0)

نهايات الدوال المثلثية

الاتصال في نقطة

نهاية دالة حدودية في ∞+

نهاية عند نقطة: شكل 0/0

Limites de fonctions rationnelles en un point

احسب النهايات التالية.

Limites de polynômes à l'infini

احسب النهايات التالية عند +∞.

Limites diverses : polynôme et expression simple

احسب النهايات التالية.

Limites de fonctions rationnelles

نهايات الدوال الكسرية

نهاية دالة حدودية

نهاية دالة بسيطة

نهاية غير منتهية

نهاية خارج

نهاية دالة مثلثية

نهاية دالة جذرية

نهاية دالة بسيطة

نهاية دالة حدودية عند اللانهاية

نهاية دالة جذرية

نهاية دالة مثلثية

نهاية دالة حدودية

نهاية دالة مثلثية

نهاية دالة جذرية عند اللانهاية

كثيرات الحدود في $\pm \infty$

الدوال الجذرية في $\pm \infty$

النوع 2: رفع شكل غير محدد $\frac{0}{0}$ (كسر نسبي)

احسب النهايات التالية عند $+ \infty$ .

نضع $g (x) = \frac{x ^{2} - x - 3}{x ^{2} + 2 x - 3}$ . احسب.

احسب النهايات التالية عند $+ \infty$ .

احسب $x \to 5 lim \frac{x - 1 - 2}{x - 5}$ .

احسب $x \to + \infty lim x + x + x + x - x$ .

احسب $x \to \frac{π}{2} lim \frac{3 + sin x - 2}{x - \frac{π}{2}}$ .

لتكن $f$ معرفة على $R^{*}$ بـ:

ليكن $a > 0$ . احسب $x \to a^{+} lim \frac{x - a - x - a}{x ^{2} - a ^{2}}$ .

ليكن $n \in N^{*}$ . احسب النهايات التالية.

لتكن $f$ معرفة بـ:

احسب $x \to 0 lim f (x)$ .