Nombres complexes — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

الفصل 8: الأعداد العقدية

I. تعريف وشكل جبري

نضع $i^{2} = - 1$ . يكتب العدد العقدي $z = a + bi$ حيث

a, b \in R

.
$Re (z) = a$ (الجزء الحقيقي)، $Im (z) = b$ (الجزء التخيلي).
المرافق :

z

a - bi

. المعيار :

∣ z ∣ = a^{2} + b^{2}

II. العمليات

الجمع :

(a + bi) + (c + d i) = (a + c) + (b + d) i

الضرب :

(a + bi) (c + d i) = (a c - b d) + (a d + b c) i

القسمة :

z / w = \frac{z \cdot w}{∣ w ∣ ^{2}}

الخاصيات :

∣ z \cdot w ∣ = ∣ z ∣∣ w ∣

∣ z / w ∣ = ∣ z ∣/∣ w ∣

z \cdot \overline{z} = ∣ z ∣^{2}

III. الشكل المثلثي (القطبي)

z = r (cos θ + i sin θ)

حيث

r = ∣ z ∣

θ = ar g (z)

(العمدة).
صيغة Moivre :

[r (cos θ + i sin θ)]^{n} = r^{n} (cos n θ + i sin n θ)

الضرب :

∣ z_{1} z_{2} ∣ = ∣ z_{1} ∣∣ z_{2} ∣

ar g (z_{1} z_{2}) = ar g (z_{1}) + ar g (z_{2})

IV. التمثيل الهندسي (مستوى Gauss)

المستوى العقدي : كل نقطة

M (a, b)

لها لحق

z = a + bi

∣ z ∣ =

المسافة عن الأصل،

∣ z_{1} - z_{2} ∣ =

المسافة بين النقطتين ذاتي اللحقين

z_{1}

z_{2}

.
منتصف

[A B]

: لحقه

= \frac{z _{A} + z _{B}}{2}

V. الشكل الأسي — تدوين Euler

التدوين :

e^{i θ} = cos θ + i sin θ

(صيغة Euler)
الشكل الأسي :

z = r \cdot e^{i θ}

حيث

r = ∣ z ∣

θ = ar g (z)

خاصيات :

e^{i α} \cdot e^{i β} = e^{i (α + β)}

(e^{i θ})^{n} = e^{in θ}

حالات خاصة :

e^{iπ} = - 1

e^{i \cdot 2 π} = 1

e^{iπ /2} = i

VI. الجذور النونية للوحدة

حلول $z^{n} = 1$ هي الجذور

n

: $z_{k} = e^{2 ik π / n}$ ،

k = 0, 1, \dots, n - 1

تشكل مضلعًا منتظمًا ذا

n

ضلعًا مرسومًا داخل دائرة الوحدة.
الجذور التربيعية لـ $- 1$ :

z = \pm i

؛ الجذور التكعيبية لـ 1 :

1

j = e^{2 iπ /3}

j

= e^{- 2 iπ /3}

حيث

1 + j + \overline{j} = 0

VII. التحويلات الهندسية بالأعداد العقدية

إزاحة بمتجهة لحقها

t

f (z) = z + t

دوران مركزه

Ω

(لحقه

a

) وزاويته

θ

f (z) = e^{i θ} (z - a) + a

تحاكي مركزه

a

ونسبته

k

(عدد حقيقي) :

f (z) = k (z - a) + a

طريقة : لإيجاد مركز دوران

f (z) = e^{i θ} \cdot z + b

، نحل المعادلة

f (Ω) = Ω

📈 Figure clé

Image de

z = a + ib

a = Re (z)

b = Im (z)

🔑 Formules clés à retenir

$i^{2} = - 1$ , $z = a + bi$ , $∣ z ∣ = a^{2} + b^{2}$
z $= a - bi$ , $z \cdot$ z $= ∣ z ∣^{2}$
الشكل المثلثي: $z = r (cos θ + i sin θ)$
الشكل الأسي: $z = r \cdot e^{i θ}$ , $e^{i θ} = cos θ + i sin θ$
صيغة Moivre : $z^{n} = r^{n} \cdot e^{in θ}$
جذور $z^{n} = 1$ هي: $z_{k} = e^{2 ik π / n}$
الدوران الذي مركزه $a$ وزاويته $θ$ هو: $f (z) = e^{i θ} (z - a) + a$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 أخطاء شائعة

❌

القسمة على الشكل الجبري: لحساب $z_{1} / z_{2}$ ، اضرب البسط والمقام في $\overline{z}_{2}$ . لا "تبسط" أبدًا الجزء الحقيقي مع الجزء الحقيقي مباشرة!

❌

عمدة $\overline{z}$ : $ar g (\overline{z}) = - ar g (z)$ (تماثل بالنسبة للمحور الحقيقي). لا تخلط بينها وبين $ar g (- z) = ar g (z) + π$ .

❌

صيغة Moivre: $(cos θ + i sin θ)^{n} = cos (n θ) + i sin (n θ)$ : تنطبق على $e^{i θ}$ مرفوعًا للقوة $n$ . انتبه إذا لم يكن $z$ على دائرة الوحدة: يجب القسمة على $∣ z ∣^{n}$ أولاً.

🟢 نصائح احترافية

✅

الانتقال إلى الشكل الأسي للقوى: $z = r \cdot e^{i θ}$ → $z^{n} = r^{n} \cdot e^{in θ}$ . أبسط بكثير من النشر على الشكل الجبري!

✅

إيجاد مركز دوران: $f (z) = e^{i θ} \cdot z + b$ → المركز $ω$ بحيث $f (ω) = ω$ → $ω \cdot (1 - e^{i θ}) = b$ → $ω = \frac{b}{1 - e ^{i θ}}$ .

💡

صيغ أويلر للمثلثات: $cos n θ = Re (e^{in θ})$ و $sin n θ = Im (e^{in θ})$ . النشر بواسطة Moivre يسمح بإيجاد $cos (2 θ)$ ، $cos (3 θ)$ ، إلخ.

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

طرق نموذجية — الأعداد المركبة

النوع 1: وضع عدد مركب في الشكل الجبري

متى؟ عندما يُعطى لك تعبير لتبسيطه (جداء، خارج قسمة، قوة) ونريد النتيجة في الشكل $a + bi$ .

انشر باستخدام $i^{2} = - 1$ في كل مرة يظهر فيها مربع.
بالنسبة لخارج القسمة، اضرب البسط والمقام في مرافق المقام لجعله حقيقياً.
اجمع الجزء الحقيقي من جهة والجزء التخيلي من جهة أخرى.
حدد إذن $a = Re (z)$ و $b = Im (z)$ .

مثال سريع: $\frac{1}{1 + i} = \frac{1 - i}{( 1 + i ) ( 1 - i )} = \frac{1 - i}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} i$ .

النوع 2: حساب مرافق واستغلال خصائصه

متى؟ عندما نتعامل مع $\overline{z}$ ، أو يجب إثبات أن عدداً حقيقي أو تخيلي محض.

بالنسبة لـ $z = a + bi$ ، اكتب مباشرة $\overline{z} = a - bi$ .
لإثبات أن $z$ حقيقي، أظهر أن $z = \overline{z}$ (يكافئ $Im (z) = 0$ ).
لإثبات أن $z$ تخيلي محض، أظهر أن $z = - \overline{z}$ (يكافئ $Re (z) = 0$ ).
استخدم القواعد: $\overline{z + z^{'}} = \overline{z} + \overline{z^{'}}$ و $\overline{z z^{'}} = \overline{z} \overline{z^{'}}$ .

مثال سريع: $z = 3 - 2 i$ له مرافق $\overline{z} = 3 + 2 i$ ، و $z + \overline{z} = 6$ حقيقي.

النوع 3: حساب معيار

متى؟ عندما يُطلب $∣ z ∣$ ، أو مسافة بين نقاط لها لواحق، أو يجب مقارنة معايير.

بالنسبة لـ $z = a + bi$ ، طبق $∣ z ∣ = a^{2} + b^{2}$ .
بالنسبة لخارج قسمة، استخدم $\frac{z}{z ^{'}} = \frac{∣ z ∣}{∣ z ^{'} ∣}$ بدلاً من تطوير كل شيء.
بالنسبة لجداء، استخدم $∣ z z^{'} ∣ = ∣ z ∣ \times ∣ z^{'} ∣$ .
تذكر أن $z \overline{z} = ∣ z ∣^{2}$ ، مفيد للتبسيط.

مثال سريع: $z = 3 + 4 i$ يعطي $∣ z ∣ = 9 + 16 = 5$ .

النوع 4: حل معادلة من الدرجة الثانية في $C$

متى؟ عندما نحل $a z^{2} + b z + c = 0$ بمعاملات حقيقية، مع مميز غالباً سالب.

احسب المميز $Δ = b^{2} - 4 a c$ .
إذا كان $Δ > 0$ أو $Δ = 0$ ، طبق الصيغ الحقيقية المعتادة.
إذا كان $Δ < 0$ ، اكتب $Δ = - ∣Δ∣$ ثم الجذور المركبة المترافقة $z = \frac{- b \pm i ∣Δ∣}{2 a}$ .
قدم الحلين وتحقق من أنهما مترافقان.

مثال سريع: $z^{2} + z + 1 = 0$ : $Δ = - 3$ ، إذن $z = \frac{- 1 \pm i 3}{2}$ .

النوع 5: حساب قوى $i$ وقوى عدد مركب

متى؟ عندما نواجه $i^{n}$ مع $n$ كبير، أو قوة مثل $z^{3}$ لتطويرها.

بالنسبة لـ $i^{n}$ ، اقسم $n$ على $4$ واحتفظ بالباقي: $i^{0} = 1$ ، $i^{1} = i$ ، $i^{2} = - 1$ ، $i^{3} = - i$ .
استبدل $i^{n}$ بالقيمة المقابلة للباقي.
بالنسبة لقوة عدد مركب، طور باستخدام المتطابقات الهامة مع استبدال $i^{2}$ بـ $- 1$ .
اختزل إلى الشكل الجبري النهائي.

مثال سريع: $i^{2026}$ : $2026 = 4 \times 506 + 2$ ، إذن $i^{2026} = i^{2} = - 1$ .

النوع 6: التفسير الهندسي (لاحقة، مسافة، استقامة)

متى؟ عندما ننتقل من نقطة إلى لاحقتها، أو نحسب مسافة، أو ندرس تشكيلاً لنقاط في المستوى المركب.

اربط بكل نقطة $A$ لاحقتها $z_{A}$ ، وبمتجهة $A B$ اللاحقة $z_{B} - z_{A}$ .
احسب مسافة بـ $A B = ∣ z_{B} - z_{A} ∣$ .
أوجد منتصف $[A B]$ باللاحقة $\frac{z _{A} + z _{B}}{2}$ .
اختبر متوازي أضلاع $A B C D$ بمساواة اللواحق $z_{B} - z_{A} = z_{C} - z_{D}$ .

مثال سريع: $A$ لاحقتها $1 + i$ و $B$ لاحقتها $4 + 5 i$ : $A B = ∣3 + 4 i ∣ = 5$ .

النوع 7: تحديد مجموعة نقاط معرفة بشرط على $z$

متى؟ عندما نبحث عن مجموعة النقاط $M$ ذات اللاحقة $z$ التي تحقق $∣ z - z_{A} ∣ = r$ ، $∣ z - z_{A} ∣ = ∣ z - z_{B} ∣$ ، إلخ.

ضع $z = x + i y$ وترجم الشرط إلى علاقة على $x$ و $y$ .
تعرف على الأشكال الكلاسيكية: $∣ z - z_{A} ∣ = r$ هي دائرة مركزها $A$ ونصف قطرها $r$ .
$∣ z - z_{A} ∣ = ∣ z - z_{B} ∣$ هي المحور المتوسط للقطعة $[A B]$ .
إذا لزم الأمر، طور المعايير بالتربيع للحصول على المعادلة الديكارتية واستنتج الطبيعة.

مثال سريع: $∣ z - 2∣ = 3$ هي دائرة مركزها النقطة ذات اللاحقة $2$ ونصف قطرها $3$ .

Nombres complexes — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

Exercices interactifs

55 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 55 corrigés

Exercices Faciles

21 exercices

العمليات على الأشكال الجبرية

Facile

Énoncé

z₁=3+2i, z₂=1−4i. أحسب ما يلي: 1) z₁+z₂ 2) z₁ $\times$ z₂ 3) |z₁| و |z₂|

Ma réponse

Nombres complexes

Nombres complexes — Résumé de cours

Cours complet

Contenu du cours

الفصل 8: الأعداد العقدية

I. تعريف وشكل جبري

II. العمليات

III. الشكل المثلثي (القطبي)

IV. التمثيل الهندسي (مستوى Gauss)

V. الشكل الأسي — تدوين Euler

VI. الجذور النونية للوحدة

VII. التحويلات الهندسية بالأعداد العقدية

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

🔴 أخطاء شائعة

🟢 نصائح احترافية

Méthodes types

طرق نموذجية — الأعداد المركبة

النوع 1: وضع عدد مركب في الشكل الجبري

النوع 2: حساب مرافق واستغلال خصائصه

النوع 3: حساب معيار

النوع 4: حل معادلة من الدرجة الثانية في C

النوع 5: حساب قوى i وقوى عدد مركب

النوع 6: التفسير الهندسي (لاحقة، مسافة، استقامة)

النوع 7: تحديد مجموعة نقاط معرفة بشرط على z

Nombres complexes — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

العمليات على الأشكال الجبرية

المرافق والقسمة

معادلة في ℂ

الشكل الأسي — أولر

معيار وعمدة عدد عقدي - الشكل المثلثي

جمع الأعداد العقدية

جمع الأعداد العقدية

مرافق عدد عقدي

جمع الأعداد العقدية

معيار عدد عقدي

معيار عدد عقدي

مرافق عدد عقدي

جداء الأعداد العقدية

جمع الأعداد العقدية

مرافق عدد عقدي

معيار عدد عقدي

جداء الأعداد العقدية

معيار عدد عقدي

مرافق عدد عقدي

ضرب الأعداد العقدية

جداء الأعداد العقدية

Exercices Intermédiaires

معيار وعمدة

صيغة موافر

تأويل هندسي

الجذور التكعيبية للوحدة

تأويل هندسي - استقامية ومنتصف

قسمة الأعداد العقدية

عمدة عدد عقدي

معادلة بالأعداد العقدية

الشكل المثلثي لعدد عقدي

قسمة الأعداد العقدية

الشكل المثلثي لعدد عقدي

قسمة الأعداد العقدية

عمدة عدد عقدي

الشكل الأسي لعدد عقدي

عمدة عدد عقدي

الشكل المثلثي لعدد عقدي

Exercices Difficiles

الجذور المربعة لعدد عقدي

معادلة من الدرجة الثالثة — جذر عقدي

تحويلات هندسية عقدية

الجذور النونية للوحدة - الجذور التكعيبية

الضرب في الكتابة الأسية

برهان صيغة موافر

التمثيل الهندسي

برهان خاصية

الشكل الأسي لعدد عقدي

جداء و عمدة

المسافة بين عددين عقديين

مسافة بين عددين عقديين

النوع 4: حل معادلة من الدرجة الثانية في $C$

النوع 5: حساب قوى $i$ وقوى عدد مركب

النوع 7: تحديد مجموعة نقاط معرفة بشرط على $z$