Probabilités — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

الفصل 7: الاحتمالات

I. المصطلحات

تجربة عشوائية: نتيجة غير متوقعة. الكون Ω: مجموعة النتائج الممكنة.
الحدث A ⊂ Ω. P(A): احتمال A، حيث

0 \leq P (A) \leq 1

P (Ω) = 1

P (\emptyset) = 0

. $P (\overset{ˉ}{A}) = 1 - P (A)$ .

II. العمليات على الأحداث

الاتحاد:

P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)

الأحداث غير المتنافية $(A \cap B = \emptyset)$ :

P (A \cup B) = P (A) + P (B)

الأحداث المستقلة:

P (A \cap B) = P (A) \times P (B)

III. الاحتمال الشرطي

$P (A ∣ B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}$ (احتمال A علما أن B محقق)
صيغة الاحتمالات الكلية:
إذا كان

(B_{i})

تجزئة للكون Ω:

P (A) = \sum P (A ∣ B_{i}) \times P (B_{i})

IV. المتغيرات العشوائية وقانون الحدين

المتغير العشوائي X: الأمل الرياضي $E (X) = \sum x_{i} P (X = x_{i})$
قانون الحدين $B (n, p)$ :

P (X = k) = C (n, k) \times p^{k} \times (1 - p)^{n - k}

E (X) = n p

Var (X) = n p (1 - p)

V. شجرة الاحتمالات

قاعدة الفرع: نضرب الاحتمالات على طول الفرع.
قاعدة المسارات: نجمع احتمالات المسارات المؤدية إلى الحدث.
مثال: صندوق I (3 كرات حمراء، 2 كرات بيضاء)، صندوق II (1 كرة حمراء، 4 كرات بيضاء). نختار صندوقا عشوائيا، ثم كرة.

P (حمراء) = P (Ω_{1}) \cdot P (R ∣ Ω_{1}) + P (Ω_{2}) \cdot P (R ∣ Ω_{2}) = (\frac{1}{2}) (\frac{3}{5}) + (\frac{1}{2}) (\frac{1}{5}) = \frac{3}{10} + \frac{1}{10} = \frac{2}{5}

VI. التباين والانحراف المعياري

التباين:

V (X) = E (X^{2}) - [E (X)]^{2}

الانحراف المعياري:

σ (X) = V (X)

بالنسبة لقانون الحدين

B (n, p)

V (X) = n p (1 - p)

σ (X) = n p (1 - p)

الخاصيات:

V (a X + b) = a^{2} V (X)

E (a X + b) = a E (X) + b

VII. صيغة بايز

إذا كان

(B_{1}, B_{2}, \dots, B_{n})

تجزئة للكون Ω:
$P (B_{k} ∣ A) = \frac{P ( A ∣ B _{k} ) \cdot P ( B _{k} )}{i \sum P ( A ∣ B _{i} ) \cdot P ( B _{i} )}$
مثال: التشخيص الطبي — احتمال أن يكون الشخص مريضا علما أن الاختبار إيجابي (انظر تمرين الكشف).

📈 Figure clé

Arbre de probabilité

🔑 Formules clés à retenir

$P (\overset{ˉ}{A}) = 1 - P (A)$
$P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$
$P (A ∣ B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}$
مستقلان: $P (A \cap B) = P (A) \times P (B)$
الاحتمالات الكلية: $P (A) = \sum P (A ∣ B_{i}) P (B_{i})$
Bayes : $P (B_{k} ∣ A) = \frac{P ( A ∣ B _{k} ) P ( B _{k} )}{P ( A )}$
الحدانية: $P (X = k) = C_{n}^{k} p^{k} (1 - p)^{n - k}$
$E (X) = n p$ , $V (X) = n p (1 - p)$ , $σ = n p (1 - p)$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 أخطاء شائعة

❌

الاستقلال ≠ عدم التوافق: حدثان غير متوافقين ( $A \cap B = \emptyset$ ) لا يكونان مستقلين أبدًا (إلا إذا كانت احتمالية أحدهما تساوي 0). الخلط بين هذين المفهومين خطأ شائع!

❌

الاحتمال الشرطي: تحديد من يشترط من بشكل جيد: $P (A ∣ B) \neq = P (B ∣ A)$ . "احتمال أن تكون مريضًا علمًا أن الاختبار إيجابي" ≠ "احتمال أن يكون الاختبار إيجابيًا علمًا أنك مريض".

❌

ثنائي الحد: التحقق من الشروط: $X \sim B (n, p)$ فقط إذا كانت التجارب مستقلة والاحتمال $p$ ثابتًا. إذا كان السحب بدون إرجاع، فهو قانون فوق الهندسي!

🟢 نصائح الخبراء

✅

صيغة الاحتمالات الكلية باستخدام الشجرة: ارسم الشجرة، ثم $P (A) =$ مجموع الجداءات على طول كل فرع يؤدي إلى $A$ . طريقة بصرية ومضمونة!

✅

Bayes = العودة إلى الشجرة: بعد حساب $P (A)$ بواسطة الاحتمالات الكلية، $P (B_{k} ∣ A) =$ الفرع المحدد / المجموع الكلي. فكر "ما هي نسبة $A$ التي تأتي من $B_{k}$ ؟"

💡

الأمل الرياضي والتباين لتوزيع ثنائي الحد: $E (X) = n p$ (بديهي: $n$ تجربة × احتمال النجاح). $V (X) = n p (1 - p)$ — يكون أقصى قيمة عندما $p = \frac{1}{2}$ (الأكثر "عشوائية").

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

طرق نموذجية — الاحتمالات

النوع 1 : وصف الفضاء وترجمة لغة الأحداث

متى؟ في بداية تمرين، يُطلب منك الفضاء $Ω$ ، أو ترجمة عبارات ("على الأقل"، "أو"، "و"، "المقابل") إلى أحداث.

صِف بدقة الفضاء $Ω$ واحسب عدد عناصره $card (Ω)$ .
ترجم " $A$ و $B$ " بالتقاطع $A \cap B$ ، " $A$ أو $B$ " بالاتحاد $A \cup B$ .
ترجم "مقابل $A$ " بـ $\overline{A}$ ، و"على الأقل واحد" بمقابل "لا شيء".
حدد الأحداث المتنافية: $A \cap B = \emptyset$ .

مثال سريع: "الحصول على صورة واحدة على الأقل" في رميتين، هو $\overline{(لا صورة)}$ ، إذن $Ω$ محروماً من ${F F}$ .

النوع 2 : حساب احتمال بالتساوي في الاحتمال

متى؟ النتائج متساوية الاحتمال (حجر نرد متوازن، سحب عشوائي، كرات غير قابلة للتمييز).

برر التساوي في الاحتمال (جسم متوازن، سحب عشوائي).
احسب عدد الحالات الملائمة $card (A)$ .
احسب عدد الحالات الممكنة $card (Ω)$ .
طبق $p (A) = \frac{card ( A )}{card ( Ω )}$ وبسّط الكسر.

مثال سريع: سحب ملك من لعبة $32$ ورقة: $p = \frac{4}{32} = \frac{1}{8}$ .

النوع 3 : العد لتحضير حساب احتمال

متى؟ سحوبات متزامنة، متتالية مع أو بدون إرجاع، اختيار فرق: يجب العد قبل القسمة.

حدد إذا كان الترتيب مهماً: إذا كان مهماً، فكر في القوائم أو الترتيبات؛ وإلا في التوافيق.
حدد إذا كان هناك إمكانية تكرار (مع إرجاع) أم لا (بدون إرجاع).
بدون ترتيب، بدون إرجاع (سحب متزامن): استخدم التوافيق $(p n) = \frac{n !}{p ! ( n - p )!}$ .
مع ترتيب، بدون إرجاع: استخدم الترتيبات $A_{n}^{p} = \frac{n !}{( n - p )!}$ .
احسب الحالات الملائمة والحالات الممكنة بنفس طريقة العد، ثم اقسم.

مثال سريع: سحب $2$ كرة في آن واحد من بين $5$ : $(2 5) = 10$ سحبات ممكنة.

النوع 4 : استخدام صيغة الاتحاد والانتقال إلى المقابل

متى؟ يُطلب $p (A \cup B)$ ، أو احتمال من نوع "على الأقل واحد" أبسط معالجته بالمقابل.

للاتحاد، طبق $p (A \cup B) = p (A) + p (B) - p (A \cap B)$ .
إذا كان $A$ و $B$ متنافيين، بسّط إلى $p (A \cup B) = p (A) + p (B)$ .
للمقابل، طبق $p (\overline{A}) = 1 - p (A)$ .
لـ"على الأقل واحد"، احسب بالأحرى المقابل "لا شيء" ثم اطرح من $1$ .

مثال سريع: إذا كان $p (لا عيب) = 0, 9$ ، فإن $p (عيب واحد على الأقل) = 1 - 0, 9 = 0, 1$ .

النوع 5 : حساب احتمال مشروط

متى؟ تُعطى معلومة "بشرط أن" تقيّد الفضاء، أو نعمل بجدول تكرارات.

حدد الحدث المشروط $B$ وطبق $p (A / B) = \frac{p ( A \cap B )}{p ( B )}$ .
مع جدول، حدد سطر أو عمود $B$ : يصبح الفضاء الجديد.
احسب الحالات الملائمة لـ $A$ في هذه الفئة الفرعية، ثم اقسم على تكرار $B$ .
تحقق من التماسك: الاحتمال يبقى بين $0$ و $1$ .

مثال سريع: من بين $20$ فتاة منهن $8$ يحببن الرياضيات: $p (رياضيات / فتاة) = \frac{8}{20} = 0, 4$ .

النوع 6 : التمثيل بشجرة وحساب احتمال تقاطع

متى؟ تجربة بعدة مراحل (سحوبات متتالية، فحص) حيث الاحتمالات تعتمد على المرحلة السابقة.

أنشئ الشجرة: كل فرع يحمل احتماله، ومجموع فروع نفس العقدة يساوي $1$ .
لاحتمال مسار، اضرب الاحتمالات على طول الفروع: $p (A \cap B) = p (A) \times p (B / A)$ .
لحدث يتحقق بعدة مسارات، اجمع احتمالات هذه المسارات.
تحقق بالتأكد من أن مجموع كل الأوراق يساوي $1$ .

مثال سريع: سحبتان بدون إرجاع، صندوق به $3$ حمراء من $5$ : $p (2 حمراء) = \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{3}{10}$ .

النوع 7 : التعرف على الاستقلالية واستغلالها

متى؟ يُؤكد (أو يجب التحقق) أن حدثين ليس لأحدهما تأثير على الآخر.

ذكّر بالتعريف: $A$ و $B$ مستقلان إذا كان $p (A \cap B) = p (A) \times p (B)$ .
للتحقق، احسب بشكل منفصل $p (A \cap B)$ والجداء $p (A) \times p (B)$ ، ثم قارن.
إذا كانا مستقلين ونبحث عن تقاطع، اضرب الاحتمالات مباشرة.
انتبه: مستقل ليس متنافياً؛ لا تخلط بين المفهومين.

مثال سريع: رميتان لقطعة نقدية: $p (صورتان) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ لأن الرميتين مستقلتان.

Probabilités — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

Exercices interactifs

44 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 44 corrigés

Exercices Faciles

20 exercices

احتمالات بسيطة - نرد وقطعة نقود

Facile

Énoncé

نرمي نردًا متوازنًا ذا 6 أوجه. 1) P(الحصول على عدد زوجي)؟ 2) P(الحصول على عدد أكبر من 4)؟ 3) P(الحصول على عدد زوجي أو أكبر من 4)؟

Ma réponse

Probabilités

Probabilités — Résumé de cours

Cours complet

Contenu du cours

الفصل 7: الاحتمالات

I. المصطلحات

II. العمليات على الأحداث

III. الاحتمال الشرطي

IV. المتغيرات العشوائية وقانون الحدين

V. شجرة الاحتمالات

VI. التباين والانحراف المعياري

VII. صيغة بايز

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

🔴 أخطاء شائعة

🟢 نصائح الخبراء

Méthodes types

طرق نموذجية — الاحتمالات

النوع 1 : وصف الفضاء وترجمة لغة الأحداث

النوع 2 : حساب احتمال بالتساوي في الاحتمال

النوع 3 : العد لتحضير حساب احتمال

النوع 4 : استخدام صيغة الاتحاد والانتقال إلى المقابل

النوع 5 : حساب احتمال مشروط

النوع 6 : التمثيل بشجرة وحساب احتمال تقاطع

النوع 7 : التعرف على الاستقلالية واستغلالها

Probabilités — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

احتمالات بسيطة - نرد وقطعة نقود

الحدث المضاد

جدول الاحتمالات

قانون B(5, 0,4) حسابات مباشرة

سحب كرة

رمي النرد

سحب الكرات

اليانصيب

اختيار الفواكه

رمي نرد

سحب الكرات

اختيار الطلاب

استطلاع حول التفضيلات

سحب البطاقات

احتمال سحب

قانون الاحتمال

اختيار مدينة

سحب كرة

الأحداث غير المتنافية

سحب البطاقات

Exercices Intermédiaires

متغير عشوائي - أمل رياضي

تباين وانحراف معياري لقانون ثنائي الحد

اختبارات في الرياضيات

القرعة المغربية

ألعاب لوحية

أحداث مستقلة

قانون ثنائي الحد

شجرة الاحتمالات

شجرة الاحتمالات

متغير عشوائي

قانون ثنائي الحد

أحداث مستقلة

أحداث مستقلة

قانون ثنائي الحد

Exercices Difficiles

قانون ثنائي الحد

تباين متغيرة عشوائية

قانون ثنائي الحد - اختبارات

أحداث مستقلة

تقدير ساكنة

تباين متغير عشوائي

الأحداث غير المتنافية

مسألة مركبة

تطبيق قانون ثنائي الحد

حساب التباين

Exercices supplémentaires

—

Quiz — Probabilités

Continue ton chapitre là où tu l'as laissé

Installe Atlasmaths sur ton téléphone