التمرين 3 — المتتالية التراجعية، الرتابة والتأطير

نعتبر المتتالية ($w_n$) المعرفة بما يلي: $w_0=1$ ولكل عدد صحيح طبيعي n، $w_{n+1}=\frac{w_n+3}{2}$.

1. احسب $w_1$ و $w_2$ و $w_3$.
2. بين بالترجع أنه لكل عدد صحيح طبيعي n، $w_n<3$.
3. ادرس رتابة المتتالية ($w_n$) بفحص إشارة $w_{n+1}-w_n$.
4. هل المتتالية ($w_n$) متقاربة؟ علل إجابتك بشكل حدسي مع تحديد القيمة التي يبدو أنها تتجه نحوها.

التمرين 4 — الادخار البنكي بالدار البيضاء

أودع شخص مبلغ 5000 درهم في حساب ادخار لدى بنك بالدار البيضاء. يدر هذا الحساب فائدة سنوية بنسبة 4%. في نهاية كل سنة، تضاف الفوائد تلقائيًا إلى الرأسمال.

نرمز بـ $C_n$ إلى الرأسمال (بالدرهم) المتوفر في الحساب في نهاية السنة n، حيث $C_0=5000$.

1. عبر عن $C_{n+1}$ بدلالة $C_n$. استنتج طبيعة المتتالية $(C_n)$.
2. عبر عن $C_n$ بدلالة n.
3. احسب الرأسمال المتوفر في نهاية السنة العاشرة. أعط القيمة المقربة إلى الدرهم. (نذكر أن $1,04^{10}\approx 1,4802$.)
4. بعد كم سنة سيتضاعف الرأسمال على الأقل؟ (نذكر أن $\log (1,04)\approx 0,0170$ و $\log (2)\approx 0,3010$.)

التمرين 4 — وضعية-مسألة

يضع أحد سكان الدار البيضاء مبلغًا من المال في حساب بنكي. في بداية كل سنة، يودع 500 درهم في هذا الحساب. يدر الحساب فائدة سنوية بنسبة 10% على الرأسمال الموجود في نهاية السنة (بعد الإيداع).

نرمز بـ $C_n$ للرأسمال (بالدرهم) المتوفر في الحساب في نهاية السنة n (بعد احتساب الفوائد)، مع $C_0=500\times 1,1=550$ درهم (الإيداع الأول في بداية السنة 1، الفوائد المحتسبة في نهاية السنة 1؛ نضع n = 0 لنهاية السنة الأولى).

1. بين أن لكل $n\in \mathbb{N}$ : $C_{n+1}=1,1\times C_n+550$.
2. نضع $D_n=C_n+a$ ، حيث a عدد حقيقي يجب تحديده، بحيث تكون $(D_n)$ متتالية هندسية. أوجد قيمة a، ثم عبر عن $D_n$ بدلالة n.
3. استنتج تعبير $C_n$ بدلالة n.
4. احسب $C_9$ (مقربًا إلى الدرهم). فسر النتيجة.

التمرين 3

نعتبر المتتالية $(w_n)$ المعرفة بما يلي: $w_0=1$ ولكل $n\in \mathbb{N}$، $w_{n+1}=(w_n{)}^2+w_n-1$.

نعرف كذلك المتتالية $(a_n)$ بـ: $a_n=w_n-1$ لكل $n\in \mathbb{N}$.

1. احسب $w_1$ و $w_2$ و $w_3$.
2. بين أن لكل $n\in \mathbb{N}$، $w_{n+1}-w_n=(w_n{)}^2-1$. استنتج رتابة المتتالية $(w_n)$ ابتداءً من الرتبة 1.
3. بين أن $a_{n+1}=a_n\times (a_n+2)$. استنتج أنه إذا كان $a_0\ge 0$، فإن $a_n\ge 0$ لكل $n\in \mathbb{N}$.
4. بين بالترجع أن $w_n\ge 1$ لكل $n\in \mathbb{N}$.

1. أحسب $S=1+3+5+\dots +99$ (مجموع أول 50 عددا فرديا).

2. أحسب $T=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\dots +\frac{1}{3^n}$.

3. تم توظيف رأسمال قدره 10 000 درهم بسعر فائدة مركبة سنوية قدرها 5%. أحسب الرأسمال بعد 10 سنوات.

يقترح بنك توظيفا برأس مال بفائدة مركبة بسعر سنوي قدره 4%. نضع رأسمالا أوليا $C_0=20000$ درهم.

1. عبر عن الرأسمال $C_n$ بعد n سنة بدلالة n.
2. بين أن المتتالية $(C_n)$ هندسية وحدد أساسها.
3. بعد كم سنة سيتضاعف الرأسمال؟ (نستعمل $\ln 2\approx 0.693$ و $\ln 1.04\approx 0.0392$)
4. احسب الرأسمال بعد 5 سنوات (قرب إلى 1 درهم).

لتكن $(u_n)$ معرفة بـ $u_0=3$ و $u_{n+1}=\frac{u_n+4}{2}$ لكل $n\in \mathbb{N}$.

1. احسب $u_1$، $u_2$ و $u_3$.
2. خمّن اتجاه التغير ونهاية $(u_n)$.
3. أثبت بالتراجع أن $u_n\le 4$ لكل $n\ge 0$.
4. أثبت أن $(u_n)$ متزايدة، ثم استنتج حول التقارب.

لتكن $(u_n)$ معرفة بـ $u_0=1$ و $u_{n+1}=\frac{1}{3}{u}_n+4$.

1. احسب $u_1$ و $u_2$.
2. حدد العدد الحقيقي $\ell$ بحيث $\ell =\frac{1}{3}\ell +4$.
3. نضع $v_n=u_n-\ell$. بين أن $(v_n)$ هندسية وحدد أساسها و $v_0$.
4. استنتج $v_n$ ثم $u_n$ بدلالة $n$.
5. حدد نهاية $(u_n)$.

لتكن $(u_n)$ معرفة من أجل $n\ge 1$ بـ $u_n=\frac{\sin n}{n}+\frac{\cos n}{n^2}$.

1. بين أنه من أجل كل $n\ge 1$ : $-\frac{2}{n}\le u_n\le \frac{2}{n}$.
2. استنتج نهاية $(u_n)$ بواسطة مبرهنة الحصر.

لتكن $(u_n)$ معرفة بـ $u_0=5$ و $u_{n+1}=2u_n-3$ لكل $n\in \mathbb{N}$.

1. احسب $u_1$، $u_2$، $u_3$.
2. نضع $v_n=u_n-3$. بين أن $(v_n)$ هندسية وحدد أساسها وحدها الأول.
3. استنتج $u_n$ بدلالة $n$.
4. عين نهاية $(u_n)$ عندما $n\to +\infty$.

لتكن المتتالية $(u_n)$ معرفة لكل $n\in \mathbb{N}$ بـ $u_n=\frac{n}{n+1}$.

1. احسب $u_0$، $u_1$، $u_2$، $u_3$.
2. بين أن $(u_n)$ متزايدة تماما.
3. بين أن $(u_n)$ محدودة من الأعلى بـ $1$.
4. استنتج نهاية $(u_n)$ عندما $n\to +\infty$.

لتكن $(u_n)$ المتتالية المعرفة بـ:

$u_{n+1}=\sqrt{2u_n+3}\text{et}{u}_0=1$

1. برهن بالتراجع أنه من أجل كل $n\in \mathbb{N}$ : $1\le u_n\le 3$.
2. برهن أن المتتالية $(u_n)$ متزايدة.

لتكن $(u_n)$ المتتالية المعرفة بـ:

$u_{n+1}=\frac{1}{3}{u}_n+2\text{et}{u}_0=2$

1. بين أن المتتالية $(u_n)$ محدودة من الأعلى بـ $3$.
2. ادرس رتابة $(u_n)$، ثم استنتج أنه من أجل كل $n\in \mathbb{N}$ : $u_n\ge 2$.
3. نضع $v_n=u_n-3$.
   1. بين أن $(v_n)$ هندسية.
   2. عبر عن $v_n$ بدلالة $n$.
   3. استنتج $u_n$ بدلالة $n$.
4. احسب $S_n=v_0+v_1+\cdots +v_n$ بدلالة $n$.
5. احسب $T_n=u_0+u_1+\cdots +u_n$ بدلالة $n$.

لتكن $(u_n)$ المتتالية المعرفة بـ:

$u_{n+1}=1-\frac{9}{u_n+5}\text{et}{u}_0=1$

1. بين أنه من أجل كل $n\in \mathbb{N}$ : $u_n>-2$.
2. ادرس رتابة المتتالية $(u_n)$.
3. نضع $v_n=\frac{1}{u_n+2}$.
   1. بين أن $(v_n)$ متتالية حسابية.
   2. احسب $v_n$، ثم $u_n$، بدلالة $n$.

لتكن $(u_n)$ المتتالية المعرفة بـ:

$u_{n+1}=\frac{3u_n}{21+u_n}\text{et}{u}_0=1$

1. بين أنه من أجل كل $n\in \mathbb{N}$ : $u_n>0$.
2. بين أنه من أجل كل $n\in \mathbb{N}$ : $u_{n+1}\le \frac{1}{7}{u}_n$.
3. استنتج رتابة المتتالية $(u_n)$.
4. بين أنه من أجل كل $n\in \mathbb{N}$ : $0<u_n\le {\left(\frac{1}{7}\right)}^n$.

لتكن $(u_n)$ المتتالية المعرفة بـ $u_0=1$ و، لكل $n\in \mathbb{N}$، $u_{n+1}=\sqrt{2u_n+3}$.

1. برهن بالترجع أنه لكل $n\in \mathbb{N}$ : $1\le u_n\le 3$.

2. برهن أن $(u_n)$ متزايدة.

لتكن $(u_n)$ المتتالية المعرفة بـ $u_0=2$ و، لكل $n\in \mathbb{N}$، $u_{n+1}=\frac{1}{3}{u}_n+2$.

1. بين أن المتتالية $(u_n)$ محدودة من الأعلى بـ $3$.

2. ادرس رتابة $(u_n)$ واستنتج أنه لكل $n\in \mathbb{N}$، $u_n\ge 2$.

3. نضع $v_n=u_n-3$. بين أن $(v_n)$ هندسية، عبر عن $v_n$ ثم $u_n$ بدلالة $n$.

4. احسب $S_n=v_0+v_1+\cdots +v_n$ ثم $T_n=u_0+u_1+\cdots +u_n$ بدلالة $n$.

لتكن $(u_n)$ المتتالية المعرفة بـ $u_0=1$ و، لكل $n\in \mathbb{N}$، $u_{n+1}=\frac{3u_n}{21+u_n}$.

1. بين أنه لكل $n\in \mathbb{N}$ : $u_n>0$.

2. بين أنه لكل $n\in \mathbb{N}$ : $u_{n+1}\le \frac{1}{7}{u}_n$.

3. استنتج رتابة $(u_n)$.

4. بين أنه لكل $n\in \mathbb{N}$ : $0<u_n\le {\left(\frac{1}{7}\right)}^n$.

1. لتكن $(u_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$ متتالية بحيث لكل $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ : $u_1+u_2+\cdots +u_n=2n^2+n$. عبّر عن $u_n$ بدلالة $n$.

2. لتكن $(v_n)$ متتالية حسابية متناقصة حدها الأول $v_0=2$ وأساسها $r$ بحيث $4(v_1{)}^2+(v_2{)}^2=164$. حدد الأساس $r$.

لتكن $a,b,c,d,e$ خمسة أعداد صحيحة، بهذا الترتيب، تمثل خمسة حدود متتالية لمتتالية حسابية. نعلم أن $a$ هو الأصغر بين الأعداد الخمسة، وأن مجموعها يساوي $40$ وأن جداءها يساوي $12320$. حدد الأعداد الخمسة $a,b,c,d,e$.

لتكن المتتالية ($z_n$) المعرفة بـ $z_0$ = 3 و z_{n+1} = $z_n$ + 5. احسب مجموع الحدود العشرة الأولى.

لتكن المتتالية $(a_n)$ المعرفة بـ $a_n=2^n$ والمتتالية $(b_n)$ المعرفة بـ $b_n=n^2$. من أجل $n\ge 0$, بين أن $(a_n)$ تتزايد أسرع من $(b_n)$.