Le dénombrement — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

I. Principes fondamentaux

Principe additif : Si A et B sont disjoints, $Card (A \cup B) = Card (A) + Card (B)$
Principe multiplicatif : $Card (A \times B) = Card (A) \times Card (B)$

II. Permutations

Permutations de n éléments

$n! = n \times (n - 1) \times \dots \times 2 \times 1$

$0! = 1$

III. Arrangements

$A_{n}^{p} = \frac{n !}{( n - p )!} = n (n - 1) \dots (n - p + 1)$

IV. Combinaisons

Coefficient binomial

$C_{n}^{p} = (p n) = \frac{n !}{p ! ( n - p )!}$

$C_{n}^{0} = C_{n}^{n} = 1$ ; $C_{n}^{1} = n$ ; $C_{n}^{p} = C_{n}^{n - p}$

Triangle de Pascal : $C_{n + 1}^{p} = C_{n}^{p - 1} + C_{n}^{p}$

V. Formule du binôme de Newton

$(a + b)^{n} = k = 0 \sum n C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k}$

📈 Figure clé

Arbre de dénombrement

🔑 Formules clés à retenir

$n! = n \times (n - 1) \times \dots \times 1$
$A_{n}^{p} = \frac{n !}{( n - p )!}$
$C_{n}^{p} = \frac{n !}{p ! ( n - p )!}$
$(a + b)^{n} = \sum C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k}$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 Pièges classiques

❌

Confondre arrangement et combinaison : les arrangements $A_{n}^{p}$ tiennent compte de l'ordre, les combinaisons $C_{n}^{p}$ non. "Choisir un président puis un secrétaire" = arrangement ; "choisir un comité de 2" = combinaison.

❌

Oublier 0! = 1 : par définition, 0! = 1 (pas 0). Essentiel dans les formules $C_{n}^{0} = n! / (0! \cdot n!) = 1$ .

❌

Binôme de Newton : confondre les exposants : dans $(a + b)^{n}$ , le terme général est $C_{n}^{k} \cdot a^{n - k} \cdot b^{k}$ . L'exposant de a décroît, celui de b croît. Leur somme vaut toujours n.

🟢 Astuces de pros

✅

Triangle de Pascal pour éviter les calculs : $C_{n + 1}^{p} = C_{n}^{p - 1} + C_{n}^{p}$ . Construis les premières lignes pour retrouver rapidement les coefficients binomiaux.

✅

$C_{n}^{p} = C_{n}^{n - p}$ : choisir p éléments parmi n revient à choisir les n−p éléments qu'on ne prend PAS. Utilise cette symétrie pour simplifier les calculs.

💡

Méthode des cas : pour "au moins un", calcule le complémentaire : P(au moins 1) = total − P(aucun). Ex : comités avec au moins 1 femme = total − comités sans femme.

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

Méthodes types — Dénombrement

Type 1 : Choisir le bon modèle (ordre ? répétition ?)

Quand ? Avant tout calcul : déterminer s'il faut une $p$ -liste, un arrangement, une permutation ou une combinaison.

Demande-toi : l'ordre compte-t-il ? Si non $\to$ combinaison.
Si l'ordre compte, demande : peut-on répéter un élément ? Si oui $\to$ $p$ -liste ; si non $\to$ arrangement.
Si on ordonne TOUS les éléments d'un ensemble sans répétition $\to$ permutation.
Écris la formule correspondante avant de calculer.

Exemple éclair : Code à $4$ chiffres parmi $0$ – $9$ avec répétition $\to$ $p$ -liste : $1 0^{4}$ . Podium de $3$ parmi $8$ coureurs $\to$ arrangement : $A_{8}^{3}$ .

Type 2 : Compter des $p$ -listes (ordre + répétition)

Quand ? On choisit $p$ éléments parmi $n$ , l'ordre compte et un élément peut se répéter (tirages successifs avec remise).

Repère qu'à chaque position on a les mêmes $n$ choix possibles.
Applique la formule : nombre de $p$ -listes $= n^{p}$ .
Si des contraintes existent (premier chiffre non nul...), traite chaque position séparément puis multiplie.
Conclus par le produit obtenu.

Exemple éclair : Nombre de mots de $3$ lettres formés avec un alphabet de $26$ lettres : $2 6^{3} = 17576$ .

Type 3 : Compter des arrangements (ordre, sans répétition)

Quand ? On choisit et on ordonne $p$ éléments DISTINCTS parmi $n$ (tirages successifs sans remise).

Vérifie que $p \leq n$ et qu'aucune répétition n'est permise.
Applique : $A_{n}^{p} = \frac{n !}{( n - p )!} = n (n - 1) \dots (n - p + 1)$ ( $p$ facteurs descendants).
Pour des contraintes (un élément fixé à une place), place d'abord les imposés puis arrange le reste.
Conclus par la valeur numérique.

Exemple éclair : Nombre de façons de classer $3$ élèves parmi $5$ : $A_{5}^{3} = 5 \times 4 \times 3 = 60$ .

Type 4 : Compter des permutations (tout ordonner)

Quand ? On range la TOTALITÉ de $n$ éléments distincts dans un ordre.

Reconnais qu'une permutation est un arrangement avec $p = n$ .
Applique : nombre de permutations $= n!$ .
Si certains éléments doivent rester groupés, traite le bloc comme un seul élément, puis multiplie par les permutations internes du bloc.
Pour des positions interdites, retranche les cas non désirés.

Exemple éclair : Ranger $5$ livres distincts sur une étagère : $5! = 120$ façons.

Type 5 : Compter des combinaisons (sans ordre)

Quand ? On choisit un sous-ensemble de $p$ éléments parmi $n$ sans tenir compte de l'ordre (tirage simultané).

Confirme que l'ordre n'intervient pas (« choisir une équipe », « tirer simultanément »).
Applique : $(p n) = \frac{n !}{p ! ( n - p )!}$ .
Pour des conditions (« au moins... », « exactement... »), découpe en catégories et multiplie/additionne selon les cas.
Conclus par la somme des cas favorables.

Exemple éclair : Choisir $2$ délégués parmi $10$ élèves : $(2 10) = \frac{10 \times 9}{2} = 45$ .

Type 6 : Utiliser les propriétés des coefficients $(p n)$

Quand ? On demande de simplifier, prouver une égalité, ou calculer sans développer toutes les factorielles.

Symétrie : $(p n) = (n - p n)$ (choisis le plus petit $p$ pour calculer).
Relation de Pascal : $(p n) + (p + 1 n) = (p + 1 n + 1)$ .
Valeurs particulières : $(0 n) = (n n) = 1$ et $(1 n) = n$ .
Identifie quelle propriété transforme l'expression vers la forme demandée.

Exemple éclair : $(10 12) = (2 12) = 66$ grâce à la symétrie.

Type 7 : Dénombrer avec « au moins » / « au plus » (complémentaire)

Quand ? L'énoncé contient « au moins un... », « au plus... » ou « il y a au minimum... ».

Identifie l'ensemble total $E$ et son cardinal $card (E)$ .
Détermine l'événement contraire (souvent « aucun » est plus simple à compter).
Applique : $card (au moins un) = card (E) - card (aucun)$ .
Pour les cas plus fins (« exactement $k$ »), additionne les combinaisons par catégorie.

Exemple éclair : Tirer $3$ cartes parmi $32$ avec « au moins un roi » : $(3 32) - (3 28)$ .

Type 8 : Tirages combinés par catégories (principe multiplicatif)

Quand ? On choisit des éléments de plusieurs groupes distincts à la fois (ex. tant de garçons et tant de filles).

Sépare la population en catégories disjointes (ex. $g$ garçons, $f$ filles).
Compte les choix dans chaque catégorie avec une combinaison.
Multiplie les résultats (principe multiplicatif) pour un tirage simultané.
Si plusieurs répartitions conviennent, additionne tous les cas.

Exemple éclair : Former une commission de $2$ garçons et $3$ filles parmi $5$ garçons et $6$ filles : $(2 5) (3 6) = 10 \times 20 = 200$ .

Le dénombrement — Fiche d'exercices

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Exercices interactifs

79 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 79 corrigés

Exercices Faciles

29 exercices

Calcul de factorielles et simplification

Facile

Énoncé

Calculer les expressions suivantes en donnant le résultat sous forme d'un entier :

A = $6! - 2 \times 5!$
B = $8! / (6! \times 2!)$
C = $15! /13!$
D = $(n + 2)! / n!$ (exprimer en fonction de n)

Ma réponse

Le dénombrement

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II. Permutations

Permutations de n éléments

III. Arrangements

IV. Combinaisons

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V. Formule du binôme de Newton

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🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

🔴 Pièges classiques

🟢 Astuces de pros

Méthodes types

Méthodes types — Dénombrement

Type 1 : Choisir le bon modèle (ordre ? répétition ?)

Type 2 : Compter des p-listes (ordre + répétition)

Type 3 : Compter des arrangements (ordre, sans répétition)

Type 4 : Compter des permutations (tout ordonner)

Type 5 : Compter des combinaisons (sans ordre)

Type 6 : Utiliser les propriétés des coefficients (pn​)

Type 7 : Dénombrer avec « au moins » / « au plus » (complémentaire)

Type 8 : Tirages combinés par catégories (principe multiplicatif)

Le dénombrement — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Calcul de factorielles et simplification

Arrangements — sélections ordonnées

Combinaisons — sélections non ordonnées

Relation de Pascal et triangle de Pascal

Calculs d'arrangements et de combinaisons

Calculs directs

Numéros de téléphone à 8 chiffres

Listes avec répétition

Tiercé dans l'ordre

Course de chevaux

Mots de 5 lettres distinctes

Alphabet

Permutations : rangement et mélange

Permutations

Comités et sous-ensembles

Combinaisons

Loto : 6 boules parmi 49

Loto

Dénombrement de fruits

Choix de plats

Combinaisons de vêtements

Variété de livres

Visites de villes

Choix de fruits

Sélection de livres

Équipe de football

Distribution de bonbons

Choix de livres

Dénombrer des livres

Choix de fruits

Élèves à classer

Équipe de football

Sélection de vêtements

Dénombrer des fruits

Dénombrer les chemins

Équipe de football

Exercices Intermédiaires

Problème de codes et mots de passe

Anagrammes et arrangements de mots

Comités et équipes — combinaisons appliquées

Binôme de Newton — terme général et coefficient

Jeux de cartes et loto

Poker : mains et nombre d'as

Jeu de 32 cartes

Tirage simultané dans un sac de 9 boules

Sac de boules colorées

Une relation entre arrangements

Identité d'arrangements

Équation avec coefficients binomiaux

Résoudre une équation

Inégalités issues du binôme de Newton

Type 2 : Compter des $p$ -listes (ordre + répétition)

Type 6 : Utiliser les propriétés des coefficients $(p n)$

Identité $(x - y)^{10}$

Développement de $(x + 2 y + 3 z)^{12}$