Le dénombrement — Résumé de cours

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma

📖 Cours complet

📚 Contenu du cours

I. Principes fondamentaux

Principe additif : Si A et B sont disjoints, Card(A∪B) = Card(A) + Card(B)
Principe multiplicatif : Card(A×B) = Card(A) × Card(B)

II. Permutations

Permutations de n éléments

n! = n × (n-1) × ... × 2 × 1

0! = 1

III. Arrangements

A_n^p = n!/(n-p)! = n(n-1)...(n-p+1)

IV. Combinaisons

Coefficient binomial

C_n^p = ⁿC_p = n!/(p!(n-p)!)

C_n⁰ = C_nⁿ = 1 ; C_n¹ = n ; C_n^p = C_n^n-p

Triangle de Pascal : C_n+1^p = C_n^p-1 + C_n^p

V. Formule du binôme de Newton

(a+b)ⁿ = Σ_k=0ⁿ C_n^k a^n-k b^k

🔑 Formules clés à retenir

n! = n×(n-1)×...×1
A_n^p = n!/(n-p)!
C_n^p = n!/(p!(n-p)!)
(a+b)ⁿ = Σ C_n^k a^n-kb^k

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 Pièges classiques

❌

Confondre arrangement et combinaison : les arrangements A_n^p tiennent compte de l'ordre, les combinaisons C_n^p non. "Choisir un président puis un secrétaire" = arrangement ; "choisir un comité de 2" = combinaison.

❌

Oublier 0! = 1 : par définition, 0! = 1 (pas 0). Essentiel dans les formules C_n⁰ = n!/(0!·n!) = 1.

❌

Binôme de Newton : confondre les exposants : dans (a+b)ⁿ, le terme général est C_n^k·a^n−k·b^k. L'exposant de a décroît, celui de b croît. Leur somme vaut toujours n.

🟢 Astuces de pros

✅

Triangle de Pascal pour éviter les calculs : C_n+1^p = C_n^p−1 + C_n^p. Construis les premières lignes pour retrouver rapidement les coefficients binomiaux.

✅

C_n^p = C_n^n−p : choisir p éléments parmi n revient à choisir les n−p éléments qu'on ne prend PAS. Utilise cette symétrie pour simplifier les calculs.

💡

Méthode des cas : pour "au moins un", calcule le complémentaire : P(au moins 1) = total − P(aucun). Ex : comités avec au moins 1 femme = total − comités sans femme.

Le dénombrement — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

✏️ Exercices interactifs

12 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 12 corrigés

🟢 Exercices Faciles

4 exercices

Calculs de factorielles et combinaisons

🟢 Facile

Énoncé

Calculer 5!, 7! et 10!/(8!)
Calculer C₆², C₈³ et C₁₀⁴
Développer (x+1)⁴ avec le binôme de Newton.

Ma réponse

🤖 Prof Hicham

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Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

5! = 120, 7! = 5040, 10!/8! = 10×9 = 90
C₆² = 6!/(2!4!) = 15, C₈³ = 8!/(3!5!) = 56, C₁₀⁴ = 210
(x+1)⁴ = x⁴ + 4x³ + 6x² + 4x + 1

Arrangements : formule et applications

🟢 Facile

Énoncé

On rappelle que A_n^p = n!/(n-p)! désigne le nombre d'arrangements de p éléments parmi n.

Calculer A₆², A₇³ et A₁₀².
De combien de façons peut-on ranger 4 livres distincts parmi 9 livres sur une étagère (l'ordre compte) ?
Un code PIN à 4 chiffres est formé de chiffres tous distincts choisis parmi {0, 1, ..., 9}. Combien de codes différents peut-on former ?
Comparer A_nⁿ et n!.

Ma réponse

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Correction détaillée

1. Calculs

A₆² = 6!/(6-2)! = 6!/4! = 6×5 = 30

A₇³ = 7!/4! = 7×6×5 = 210

A₁₀² = 10!/8! = 10×9 = 90

2. Rangement de livres

L'ordre compte ⇒ on utilise les arrangements.

A₉⁴ = 9!/(9-4)! = 9×8×7×6 = 3 024 façons.

3. Code PIN

4 chiffres distincts parmi 10, l'ordre compte :

A₁₀⁴ = 10×9×8×7 = 5 040 codes différents.

4. A_nⁿ

A_nⁿ = n!/(n-n)! = n!/0! = n!/1 = n!. Un arrangement de n éléments parmi n est une permutation.

Arrangements : mots de 3 lettres parmi A,B,C,D,E

🟢 Facile

Énoncé

On dispose des 5 lettres : A, B, C, D, E (toutes distinctes).

Combien de « mots » de 3 lettres distinctes peut-on former à partir de ces 5 lettres (l'ordre compte) ?
Parmi ces mots, combien commencent par la lettre A ?
Combien de mots de 3 lettres peut-on former si les lettres peuvent se répéter ?

Ma réponse

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Correction détaillée

1. Mots de 3 lettres distinctes (ordre compte)

On cherche le nombre d'arrangements de 3 éléments parmi 5 :

A₅³ = 5 × 4 × 3 = 60 mots

Justification : 5 choix pour la 1ère lettre, 4 pour la 2ème (différente), 3 pour la 3ème.

2. Mots commençant par A

La 1ère lettre est fixée (A). Il reste à choisir 2 lettres distinctes parmi les 4 restantes (B, C, D, E).

A₄² = 4 × 3 = 12 mots

3. Lettres avec répétition

Chaque position peut prendre n'importe laquelle des 5 lettres, indépendamment des autres.

Nombre de mots = 5 × 5 × 5 = 5³ = 125 mots

Combinaisons : calculer C(8,3)

🟢 Facile

Énoncé

Rappeler la formule de C_n^k (nombre de combinaisons de k éléments parmi n).
Calculer C₈³.
Interpréter C₈³ dans le contexte suivant : une équipe de 3 joueurs est choisie parmi 8 candidats.
Vérifier la relation de symétrie : C₈³ = C₈⁵.

Ma réponse

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Correction détaillée

1. Formule

C_n^k = n! / (k! × (n−k)!), pour 0 ≤ k ≤ n.

C_n^k compte le nombre de façons de choisir k éléments parmi n sans tenir compte de l'ordre.

2. Calcul de C₈³

C₈³ = 8! / (3! × 5!) = (8 × 7 × 6) / (3 × 2 × 1) = 336 / 6 = 56

3. Interprétation

Il y a 56 équipes différentes de 3 joueurs qu'on peut former à partir de 8 candidats (l'ordre de sélection ne compte pas, seule la composition de l'équipe importe).

4. Symétrie : C₈³ = C₈⁵

C₈⁵ = 8! / (5! × 3!) = C₈³ = 56. ✓

Explication : Choisir 3 éléments parmi 8 revient à choisir les 5 éléments qu'on ne prend pas. Il y a donc autant de façons de faire l'un que l'autre.

🟡 Exercices Intermédiaires

5 exercices

Problèmes de dénombrement

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Un comité de 5 personnes doit être formé à partir de 8 hommes et 6 femmes.

Combien de comités peut-on former ?
Combien de comités contenant exactement 3 hommes et 2 femmes ?
Combien de comités contenant au moins une femme ?

Ma réponse

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Correction détaillée

C₁₄⁵ = 14!/(5!9!) = 2002
C₈³ × C₆² = 56 × 15 = 840
Au moins 1 femme = Total - Aucune femme = C₁₄⁵ - C₈⁵ = 2002 - 56 = 1946

Probabilités et dénombrement : tirage sans remise

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Une urne contient 5 boules rouges et 3 boules bleues. On tire simultanément 3 boules.

Combien d'issues possibles y a-t-il ?
Combien d'issues donnent 3 boules rouges ? 2 rouges et 1 bleue ? 1 rouge et 2 bleues ?
Calculer la probabilité d'obtenir au moins une boule bleue.
Calculer la probabilité d'obtenir exactement 2 boules rouges.

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Correction détaillée

1. Nombre total d'issues

Tirage simultané de 3 boules parmi 8 (l'ordre ne compte pas) :

Ω = C₈³ = 8!/(3!×5!) = 56

2. Issues favorables

3 rouges : C₅³ = 10

2 rouges + 1 bleue : C₅² × C₃¹ = 10 × 3 = 30

1 rouge + 2 bleues : C₅¹ × C₃² = 5 × 3 = 15

Vérification : 10 + 30 + 15 + C₃³ = 10+30+15+1 = 56. ✓

3. P(au moins une bleue)

P(au moins 1 bleue) = 1 - P(aucune bleue) = 1 - 10/56 = 46/56 = 23/28 ≈ 0.821

4. P(exactement 2 rouges)

P(2 rouges) = 30/56 = 15/28 ≈ 0.536

Triangle de Pascal et coefficients binomiaux

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Compléter les lignes 0 à 5 du triangle de Pascal.
Vérifier la relation C_n+1^p = C_n^p-1 + C_n^p pour n = 4, p = 2.
Développer (2x - 1)⁴ en utilisant le binôme de Newton.
En déduire la valeur exacte de (1.9)⁴ = (2 - 0.1)⁴.

Ma réponse

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Correction détaillée

1. Triangle de Pascal

n=0 :         1
n=1 :        1  1
n=2 :       1  2  1
n=3 :      1  3  3  1
n=4 :     1  4  6  4  1
n=5 :    1  5 10 10  5  1

2. Vérification pour n=4, p=2

C₅² = C₄¹ + C₄² ⇔ 10 = 4 + 6 = 10. ✓

3. Développement de (2x - 1)⁴

(2x - 1)⁴ = Σ_k=0⁴ C₄^k (2x)^4-k (-1)^k

= C₄⁰(2x)⁴ - C₄¹(2x)³ + C₄²(2x)² - C₄³(2x) + C₄⁴

= 16x⁴ - 4×8x³ + 6×4x² - 4×2x + 1

= 16x⁴ - 32x³ + 24x² - 8x + 1

4. Valeur de (1.9)⁴

(2 - 0.1)⁴ : poser x = 1/2 dans (2x-1) donne... Utilisons directement (a-b)⁴ = a⁴ - 4a³b + 6a²b² - 4ab³ + b⁴ avec a=2, b=0.1 :

(1.9)⁴ = 16 - 4×8×0.1 + 6×4×0.01 - 4×2×0.001 + 0.0001

= 16 - 3.2 + 0.24 - 0.008 + 0.0001 = 13.0321

Anagrammes du mot MAROC

🟡 Intermédiaire

Énoncé

On considère le mot MAROC (5 lettres toutes distinctes).

Combien d'anagrammes (arrangements des 5 lettres) peut-on former ?
Combien d'anagrammes commencent par la lettre M ?
Combien d'anagrammes ont la lettre M et la lettre A côte à côte (dans cet ordre ou l'inverse) ?
Combien d'anagrammes commencent par une voyelle ?

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Correction détaillée

1. Nombre total d'anagrammes

Les 5 lettres (M, A, R, O, C) sont toutes distinctes.

Nombre d'anagrammes = 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

2. Anagrammes commençant par M

On fixe M en 1ère position. Il reste à arranger les 4 lettres restantes (A, R, O, C).

Nombre = 4! = 24

3. M et A côte à côte

On traite le bloc {M,A} ou {A,M} comme un seul élément. On a alors 4 éléments à arranger (le bloc + R, O, C).

Arrangements = 4! = 24

Le bloc {M,A} peut être dans 2 ordres : MA ou AM.

Nombre total = 2 × 4! = 2 × 24 = 48

4. Anagrammes commençant par une voyelle

Les voyelles de MAROC sont : A, O (2 voyelles).

Si la 1ère lettre est A : les 4 restantes s'arrangent en 4! = 24 façons.

Si la 1ère lettre est O : de même, 4! = 24 façons.

Nombre total = 2 × 24 = 48

Poignées de mains dans un groupe

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Dans un groupe de 10 personnes, chaque personne serre la main de chacune des autres exactement une fois.

Modéliser ce problème à l'aide des combinaisons.
Calculer le nombre total de poignées de mains.
Généraliser : dans un groupe de n personnes, quel est le nombre de poignées de mains ?
Pour quel nombre de personnes y aura-t-il exactement 120 poignées de mains ?

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Correction détaillée

1. Modélisation

Une poignée de mains concerne exactement 2 personnes parmi 10. L'ordre ne compte pas (une poignée entre A et B est la même qu'entre B et A).

Le nombre de poignées de mains est donc le nombre de paires non ordonnées, soit C₁₀².

2. Calcul

C₁₀² = 10! / (2! × 8!) = (10 × 9) / 2 = 90 / 2 = 45 poignées de mains

3. Généralisation

Dans un groupe de n personnes, le nombre de poignées de mains est :

C_n² = n(n−1) / 2

4. Trouver n tel que C_n² = 120

n(n−1)/2 = 120 ⇒ n(n−1) = 240

On cherche deux entiers consécutifs dont le produit est 240.

15 × 16 = 240 ✓

Donc n = 16 personnes.

🔴 Exercices Difficiles

3 exercices

Binôme de Newton et identités

🔴 Difficile

Énoncé

Montrer que Σ_k=0ⁿ C_n^k = 2ⁿ
Montrer que Σ_k=0ⁿ (-1)^k C_n^k = 0
En déduire que la somme des C_n^k pour k pair = somme pour k impair = 2^n-1

Ma réponse

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Correction détaillée

1.

Dans (1+1)ⁿ = Σ C_n^k 1^n-k·1^k = Σ C_n^k = 2ⁿ ✓

2.

Dans (1-1)ⁿ = Σ C_n^k(-1)^k = 0 ✓

3.

Σ_pair C_n^k - Σ_impair C_n^k = 0 (par 2.)

Σ_pair C_n^k + Σ_impair C_n^k = 2ⁿ (par 1.)

En additionnant : 2×Σ_pair = 2ⁿ, donc chaque somme = 2^n-1 ✓

Dénombrement avancé et combinatoire

🔴 Difficile

Énoncé

Dans une classe de 12 élèves, on forme un groupe de travail de 4 élèves dont obligatoirement le délégué de classe. Combien de groupes différents peut-on former ?
De combien de façons peut-on répartir 8 élèves en deux groupes de 4 (les groupes ne sont pas ordonnés entre eux) ?
Montrer que C_2nⁿ = Σ_k=0ⁿ (C_n^k)². (Indication : développer (1+x)²ⁿ de deux façons.)

Ma réponse

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Correction détaillée

1. Groupe avec le délégué

Le délégué est forcément dans le groupe. Il reste à choisir 3 élèves parmi les 11 restants.

Nombre de groupes = C₁₁³ = 11!/(3!×8!) = 165

2. Répartition en deux groupes non ordonnés

Si les groupes étaient ordonnés (A et B distincts) : C₈⁴ = 70 façons.

Mais les deux groupes sont interchangeables ⇒ diviser par 2.

Nombre de répartitions = 70/2 = 35

3. Identité de Vandermonde : C_2nⁿ = Σ (C_n^k)²

Méthode : (1+x)²ⁿ = (1+x)ⁿ·(1+x)ⁿ

Côté gauche : le coefficient de xⁿ dans (1+x)²ⁿ est C_2nⁿ.

Côté droit : (Σ_k=0ⁿ C_n^k x^k) × (Σ_j=0ⁿ C_n^j x^j)

Le coefficient de xⁿ dans ce produit est Σ_k=0ⁿ C_n^k·C_n^n-k = Σ_k=0ⁿ C_n^k·C_n^k (car C_n^n-k = C_n^k)

= Σ_k=0ⁿ (C_n^k)². En identifiant : C_2nⁿ = Σ_k=0ⁿ (C_n^k)². ✓

Identités combinatoires : symétrie et Pascal

🔴 Difficile

Énoncé

Démontrer par le calcul que C_n^k = C_n^n−k.
Démontrer la formule de Pascal : C_n+1^k+1 = C_n^k + C_n^k+1.
Donner une interprétation combinatoire (sans calcul) de chacune de ces identités.
Application : calculer C₇³ en utilisant la formule de Pascal à partir de valeurs connues.

Ma réponse

🤖 Prof Hicham

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Correction détaillée

1. Symétrie : C_n^k = C_n^n−k

C_n^n−k = n! / ((n−k)! × (n−(n−k))!) = n! / ((n−k)! × k!) = C_n^k. ✓

Interprétation : Choisir k éléments parmi n revient à choisir les n−k éléments qu'on exclut. Les deux choix sont équivalents, donc le nombre de façons est le même.

2. Formule de Pascal : C_n+1^k+1 = C_n^k + C_n^k+1

Calculons C_n^k + C_n^k+1 :

= n!/[k!(n−k)!] + n!/[(k+1)!(n−k−1)!]

= n!/(k!(n−k−1)!) × [1/(n−k) + 1/(k+1)]

= n!/(k!(n−k−1)!) × (k+1 + n−k)/[(n−k)(k+1)]

= n!/(k!(n−k−1)!) × (n+1)/[(n−k)(k+1)]

= (n+1)! / [(k+1)!(n−k)!] = C_n+1^k+1. ✓

Interprétation : Pour choisir k+1 éléments parmi n+1, on distingue deux cas selon si l'on inclut ou non l'élément numéro n+1. Si on l'inclut, on choisit k parmi n (C_n^k façons) ; sinon, on choisit k+1 parmi n (C_n^k+1 façons).

4. Application : C₇³

C₅² = 10, C₅³ = 10, C₆³ = C₅² + C₅³ = 10 + 10 = 20

C₆² = 15, C₇³ = C₆² + C₆³ = 15 + 20 = 35 ✓

Le dénombrement

Le dénombrement — Résumé de cours

📖 Cours complet

📚 Contenu du cours

I. Principes fondamentaux

II. Permutations

Permutations de n éléments

III. Arrangements

IV. Combinaisons

Coefficient binomial

V. Formule du binôme de Newton

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

🔴 Pièges classiques

🟢 Astuces de pros

Le dénombrement — Fiche d'exercices

✏️ Exercices interactifs

🟢 Exercices Faciles

Calculs de factorielles et combinaisons

Arrangements : formule et applications

1. Calculs

2. Rangement de livres

3. Code PIN

4. Ann

Arrangements : mots de 3 lettres parmi A,B,C,D,E

1. Mots de 3 lettres distinctes (ordre compte)

2. Mots commençant par A

3. Lettres avec répétition

Combinaisons : calculer C(8,3)

1. Formule

2. Calcul de C83

3. Interprétation

4. Symétrie : C83 = C85

🟡 Exercices Intermédiaires

Problèmes de dénombrement

Probabilités et dénombrement : tirage sans remise

1. Nombre total d'issues

2. Issues favorables

3. P(au moins une bleue)

4. P(exactement 2 rouges)

Triangle de Pascal et coefficients binomiaux

1. Triangle de Pascal

2. Vérification pour n=4, p=2

3. Développement de (2x - 1)⁴

4. Valeur de (1.9)⁴

Anagrammes du mot MAROC

1. Nombre total d'anagrammes

2. Anagrammes commençant par M

3. M et A côte à côte

4. Anagrammes commençant par une voyelle

Poignées de mains dans un groupe

1. Modélisation

2. Calcul

3. Généralisation

4. Trouver n tel que Cn2 = 120

🔴 Exercices Difficiles

Binôme de Newton et identités

1.

2.

3.

Dénombrement avancé et combinatoire

1. Groupe avec le délégué

2. Répartition en deux groupes non ordonnés

3. Identité de Vandermonde : C2nn = Σ (Cnk)²

Identités combinatoires : symétrie et Pascal

1. Symétrie : Cnk = Cnn−k

2. Formule de Pascal : Cn+1k+1 = Cnk + Cnk+1

4. Application : C73

Quiz — Le dénombrement

4. A_nⁿ

2. Calcul de C₈³

4. Symétrie : C₈³ = C₈⁵

4. Trouver n tel que C_n² = 120

3. Identité de Vandermonde : C_2nⁿ = Σ (C_n^k)²

1. Symétrie : C_n^k = C_n^n−k

2. Formule de Pascal : C_n+1^k+1 = C_n^k + C_n^k+1

4. Application : C₇³