1. Linéariser ${\cos }^4(x)$.
2. Montrer que $\cos (\pi /5)=\frac{1+\sqrt{5}}{4}$.
3. Calculer le produit $\cos (\pi /7)\cdot \cos (2\pi /7)\cdot \cos (3\pi /7)$.

1. Écrire $f(x)=\cos (x)+\sqrt{3}\cdot \sin (x)$ sous la forme $R\cdot \cos (x-\phi )$ avec $R>0$ et $\phi \in [0,2\pi [$.
2. En déduire le maximum et le minimum de $f$, et les valeurs de $x\in [0,2\pi ]$ qui les réalisent.
3. Résoudre l'équation $f(x)=1$ sur $[0,2\pi ]$.
4. Résoudre l'inéquation $f(x)\ge 1$ sur $[0,2\pi ]$.

1. Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation : $\cos (2x)+\sin (x)=0$.
2. En déduire les solutions dans $[0,2\pi ]$.
3. Interprétation graphique : décrire les points d'intersection de $y=\cos (2x)$ et $y=-\sin (x)$ sur $[0,2\pi ]$.

Manipulations trigonométriques

1. Montrer que pour tout $x\in \left]0;\frac{\pi }{2}\right[$ : $\frac{\sin (2x)+\sin (4x)+\sin (6x)}{1+\cos (2x)+\cos (4x)}=2\sin (2x)$.

2. Écrire $\frac{1-\cos (x)}{\sin (x)}$ en fonction de $\tan \left(\frac{x}{2}\right)$, pour $x\in \left]0;\frac{\pi }{2}\right[$.

3. Déterminer les valeurs exactes de :

   $A=\cos \left(\frac{\pi }{12}\right)+\cos \left(\frac{5\pi }{12}\right);B=\cos \left(\frac{\pi }{12}\right)\cdot \cos \left(\frac{5\pi }{12}\right)$

Relation dans un triangle

Soit $a$, $b$ et $c$ les mesures des angles d'un triangle, donc $a+b+c=\pi$. Montrer que :

$\tan a+\tan b+\tan c=\tan a\cdot \tan b\cdot \tan c$

(on suppose le triangle non rectangle, de sorte que les tangentes existent).

Somme de quatre sinus

Pour tout $x\in \mathbb{R}$, on pose $A(x)=\sin (x)+\sin (2x)+\sin (3x)+\sin (4x)$.

1. Calculer $A(0)$, $A(\pi )$ et $A\left(\frac{\pi }{4}\right)$.

2. Transformer en produits : $\sin (3x)+\sin (x)$ et $\sin (4x)+\sin (2x)$.

3. Montrer que $A(x)=4\cos (x)\sin \left(\frac{5x}{2}\right)\cos \left(\frac{x}{2}\right)$.

4. Résoudre dans $\mathbb{R}$ puis dans $[0;\pi ]$ l'équation $A(x)=0$.

Une expression à factoriser

Pour tout $x\in \mathbb{R}$, on pose $A(x)=\cos (2x)+\cos (x)-\sin (x)$.

1. Montrer que $A(x)=(\cos x-\sin x)(1+\cos x+\sin x)$.

2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ puis dans $[-\pi ;2\pi ]$ l'équation $A(x)=0$.

Périodicité, forme réduite et application

Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\sqrt{3}\cos x\sin x-{\sin }^2(x)$.

1. Montrer que $f$ est périodique de période $\pi$.

2. Montrer que pour tout $x\in \mathbb{R}$ : $f(x)=2\sin (x)\cos \left(x+\frac{\pi }{6}\right)$.

3. Montrer que pour tout $x\in \mathbb{R}$ : $f(x)=\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)-\frac{1}{2}$.

4. Calculer $f\left(\frac{\pi }{12}\right)$ et en déduire la valeur exacte de $\sin \left(\frac{\pi }{12}\right)$.

5. Résoudre dans $\mathbb{R}$ puis dans $[0;\pi ]$ l'équation $f(x)=0$.

Démonstration d'une identité

Montrer que pour tout $x\in \left]0;\frac{\pi }{2}\right[$ :

$\frac{\sin (3x)}{\sin (x)}-\frac{\cos (3x)}{\cos (x)}=2$

Simplification d'un quotient

Montrer que pour tout $x\in \left]0;\frac{\pi }{2}\right[$ :

$\frac{\sin (2x)+\sin (4x)+\sin (6x)}{1+\cos (2x)+\cos (4x)}=2\sin (2x)$

Trois équations linéaires en $\cos x$ et $\sin x$

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations :

1. $(E_1):\cos (x)-\sqrt{3}\sin (x)=\sqrt{2}$
2. $(E_2):(1-\sqrt{3})\sin (x)=(\sqrt{3}+1)\cos (x)$
3. $(E_3):\cos \left(x+\frac{\pi }{6}\right)\cos \left(x-\frac{\pi }{6}\right)=\frac{1}{2}$

Identité dans un triangle

Soient $a$, $b$ et $c$ les mesures des angles d'un triangle. Montrer que :

$\tan a+\tan b+\tan c=\tan a\times \tan b\times \tan c$

Indication : $a+b+c=\pi$ (on suppose les trois angles non droits).

Factorisation et résolution

Pour tout $x\in \mathbb{R}$, on pose $A(x)=\sin (x)+\sin (2x)+\sin (3x)+\sin (4x)$.

1. Calculer $A(0)$, $A(\pi )$ et $A\left(\frac{\pi }{4}\right)$.
2. Montrer que $A(x)=4\cos (x)\sin \left(\frac{5x}{2}\right)\cos \left(\frac{x}{2}\right)$.
3. Résoudre dans $\left[0;\pi \right]$ l'équation $A(x)=0$.

Étude de $A(x)=\cos (2x)+\cos (x)-\sin (x)$

1. Montrer que pour tout $x\in \mathbb{R}$, $A(x)=(\cos x-\sin x)(1+\cos x+\sin x)$.
2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $A(x)=0$.

Résolvez $\cos (2x)=0$ pour $x$ dans $[0,\pi ]$.

Résolvez l'équation $2{\cos }^{2}x-3\cos x+1=0$.

Démontrez que tan(a + b) = (tan a + tan b) / (1 - tan a tan b).

Un arbre projette une ombre de 12 mètres. Si l'angle d'élévation du soleil est de 45${}^{\circ }$, quelle est la hauteur de l'arbre ?

Résoudre l'équation $\sin (x)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ pour $0\le x<2\pi$.

Démontrez que si$n^2$(x) + co$s^2$(x) = 1.

Dans une ville marocaine, un architecte souhaite construire une tour à une hauteur de 100 mètres. Pour cela, il doit incliner le support de la tour à un angle de 30${}^{\circ }$. 1. Calculez la longueur du support. 2. Déterminez la distance horizontale entre la base de la tour et l'extrémité du support. 3. En utilisant les formules d'addition, montrez que si l'angle d'inclinaison était de 45${}^{\circ }$, la distance horizontale serait égale à la hauteur de la tour.

Résolvez l'équation ${\tan }^{2}x=3$ pour x dans $[0,2\pi ]$.

Dans un jardin à Marrakech, un arbre projette une ombre de 3 m. Si l'angle d'élévation du soleil est de 30${}^{\circ }$, quelle est la hauteur de l'arbre ?

Résoudre l'équation $2{\cos }^2(x)-3\cos (x)+1=0$ pour $x$ dans $[0,2\pi ]$.

Calculez tan($\pi$/4 + $\pi$/6) en utilisant les formules d'addition.

Démontrez que $\cos (2a)={\cos }^2(a)-{\sin }^2(a)$.