1. خَطِّيَّةُ ${\cos }^4(x)$.
2. بين أن $\cos (\pi /5)=\frac{1+\sqrt{5}}{4}$.
3. احسب الجداء $\cos (\pi /7)\cdot \cos (2\pi /7)\cdot \cos (3\pi /7)$.

1. اكتب $f(x)=\cos (x)+\sqrt{3}\cdot \sin (x)$ على الشكل $R\cdot \cos (x-\phi )$ حيث $R>0$ و $\phi \in [0,2\pi [$.
2. استنتج القيمة القصوى والقيمة الدنيا للدالة $f$، وقيم $x\in [0,2\pi ]$ التي تحقق ذلك.
3. حل المعادلة $f(x)=1$ على المجال $[0,2\pi ]$.
4. حل المتراجحة $f(x)\ge 1$ على المجال $[0,2\pi ]$.

1. حل في $\mathbb{R}$ المعادلة: $\cos (2x)+\sin (x)=0$.
2. استنتج الحلول في المجال $[0,2\pi ]$.
3. تأويل مبياني: صف نقط تقاطع $y=\cos (2x)$ و $y=-\sin (x)$ على المجال $[0,2\pi ]$.

معالجات مثلثية

1. بيّن أنه من أجل كل $x\in \left]0;\frac{\pi }{2}\right[$ : $\frac{\sin (2x)+\sin (4x)+\sin (6x)}{1+\cos (2x)+\cos (4x)}=2\sin (2x)$.

2. اكتب $\frac{1-\cos (x)}{\sin (x)}$ بدلالة $\tan \left(\frac{x}{2}\right)$، من أجل $x\in \left]0;\frac{\pi }{2}\right[$.

3. حدّد القيم الدقيقة لـ:

   $A=\cos \left(\frac{\pi }{12}\right)+\cos \left(\frac{5\pi }{12}\right);B=\cos \left(\frac{\pi }{12}\right)\cdot \cos \left(\frac{5\pi }{12}\right)$

علاقة في مثلث

لتكن $a$ و $b$ و $c$ قياسات زوايا مثلث، إذن $a+b+c=\pi$. أثبت أن:

$\tan a+\tan b+\tan c=\tan a\cdot \tan b\cdot \tan c$

(نفترض أن المثلث غير قائم الزاوية، بحيث تكون الظلال موجودة).

مجموع أربعة جيوب

لكل $x\in \mathbb{R}$، نضع $A(x)=\sin (x)+\sin (2x)+\sin (3x)+\sin (4x)$.

1. احسب $A(0)$، $A(\pi )$ و $A\left(\frac{\pi }{4}\right)$.

2. حوّل إلى جداءات: $\sin (3x)+\sin (x)$ و $\sin (4x)+\sin (2x)$.

3. بيّن أن $A(x)=4\cos (x)\sin \left(\frac{5x}{2}\right)\cos \left(\frac{x}{2}\right)$.

4. حل في $\mathbb{R}$ ثم في $[0;\pi ]$ المعادلة $A(x)=0$.

عبارة للتحليل إلى جداء عوامل

لكل $x\in \mathbb{R}$، نضع $A(x)=\cos (2x)+\cos (x)-\sin (x)$.

1. بيّن أن $A(x)=(\cos x-\sin x)(1+\cos x+\sin x)$.

2. حل في $\mathbb{R}$ ثم في $[-\pi ;2\pi ]$ المعادلة $A(x)=0$.

الدورية، الشكل المختزل والتطبيق

لتكن $f$ معرفة على $\mathbb{R}$ بـ $f(x)=\sqrt{3}\cos x\sin x-{\sin }^2(x)$.

1. بين أن $f$ دورية بدورة $\pi$.

2. بين أنه من أجل كل $x\in \mathbb{R}$ : $f(x)=2\sin (x)\cos \left(x+\frac{\pi }{6}\right)$.

3. بين أنه من أجل كل $x\in \mathbb{R}$ : $f(x)=\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)-\frac{1}{2}$.

4. احسب $f\left(\frac{\pi }{12}\right)$ واستنتج القيمة الدقيقة لـ $\sin \left(\frac{\pi }{12}\right)$.

5. حل في $\mathbb{R}$ ثم في $[0;\pi ]$ المعادلة $f(x)=0$.

إثبات متطابقة

أثبت أنه من أجل كل $x\in \left]0;\frac{\pi }{2}\right[$ :

$\frac{\sin (3x)}{\sin (x)}-\frac{\cos (3x)}{\cos (x)}=2$

تبسيط خارج قسمة

بيّن أنه من أجل كل $x\in \left]0;\frac{\pi }{2}\right[$ :

$\frac{\sin (2x)+\sin (4x)+\sin (6x)}{1+\cos (2x)+\cos (4x)}=2\sin (2x)$

ثلاث معادلات خطية في $\cos x$ و $\sin x$

حل في $\mathbb{R}$ المعادلات:

1. $(E_1):\cos (x)-\sqrt{3}\sin (x)=\sqrt{2}$
2. $(E_2):(1-\sqrt{3})\sin (x)=(\sqrt{3}+1)\cos (x)$
3. $(E_3):\cos \left(x+\frac{\pi }{6}\right)\cos \left(x-\frac{\pi }{6}\right)=\frac{1}{2}$

متطابقة في مثلث

لتكن $a$ و $b$ و $c$ قياسات زوايا مثلث. أثبت أن:

$\tan a+\tan b+\tan c=\tan a\times \tan b\times \tan c$

إرشاد: $a+b+c=\pi$ (نفترض أن الزوايا الثلاث غير قائمة).

التحليل إلى جداء والحل

لكل $x\in \mathbb{R}$، نضع $A(x)=\sin (x)+\sin (2x)+\sin (3x)+\sin (4x)$.

1. احسب $A(0)$ و $A(\pi )$ و $A\left(\frac{\pi }{4}\right)$.
2. بيّن أن $A(x)=4\cos (x)\sin \left(\frac{5x}{2}\right)\cos \left(\frac{x}{2}\right)$.
3. حل في $\left[0;\pi \right]$ المعادلة $A(x)=0$.

دراسة $A(x)=\cos (2x)+\cos (x)-\sin (x)$

1. بيّن أنه من أجل كل $x\in \mathbb{R}$، $A(x)=(\cos x-\sin x)(1+\cos x+\sin x)$.
2. حل في $\mathbb{R}$ المعادلة $A(x)=0$.

حل المعادلة $\cos (2x)=0$ حيث $x$ ينتمي إلى $[0,\pi ]$.

حل المعادلة $2{\cos }^{2}x-3\cos x+1=0$.

بين أن tan(a + b) = (tan a + tan b) / (1 - tan a tan b).

تلقي شجرة ظلاً طوله 12 متراً. إذا كانت زاوية ارتفاع الشمس هي 45${}^{\circ }$، فما هو ارتفاع الشجرة؟

حل المعادلة $\sin (x)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ من أجل $0\le x<2\pi$.

بين أن $n^2$(x) + co$s^2$(x) = 1.

في إحدى المدن المغربية، يرغب مهندس معماري في بناء برج بارتفاع 100 متر. لهذا الغرض، يجب عليه إمالة دعامة البرج بزاوية 30${}^{\circ }$. 1. احسب طول الدعامة. 2. حدد المسافة الأفقية بين قاعدة البرج وطرف الدعامة. 3. باستخدام صيغ الجمع، بين أنه إذا كانت زاوية الميل 45${}^{\circ }$، فإن المسافة الأفقية ستكون مساوية لارتفاع البرج.

حل المعادلة ${\tan }^{2}x=3$ بالنسبة لـ x في $[0,2\pi ]$.

في حديقة بمراكش، تلقي شجرة ظلاً طوله 3 أمتار. إذا كانت زاوية ارتفاع الشمس هي 30${}^{\circ }$، فما هو ارتفاع الشجرة؟

حل المعادلة $2{\cos }^2(x)-3\cos (x)+1=0$ من أجل $x$ في $[0,2\pi ]$.

احسب $\tan (\pi /4+\pi /6)$ باستخدام صيغ الجمع.

بين أن $\cos (2a)={\cos }^2(a)-{\sin }^2(a)$.