Fonctions logarithmes — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

I. دالة اللوغاريتم النيبيري

تعريف

دالة اللوغاريتم النيبيري، يُرمز لها بـ $ln$ ، معرفة على $] 0, + \infty [$ بـ:

$ln (1) = 0$ ، $ln (e) = 1$ (حيث $e \approx 2, 718$ )
$(ln x)^{'} = \frac{1}{x}$

$ln$ متزايدة تماماً على $] 0, + \infty [$ .

II. الخصائص الجبرية (يجب حفظها عن ظهر قلب)

من أجل $a > 0$ ، $b > 0$ ، $n \in Z$ :

$ln (ab) = ln a + ln b$
$ln (\frac{a}{b}) = ln a - ln b$
$ln (a^{n}) = n ln a$
$ln a = \frac{1}{2} ln a$
$ln (\frac{1}{a}) = - ln a$

III. النهايات المهمة

$x \to 0^{+} lim ln x = - \infty$
$x \to + \infty lim ln x = + \infty$
$x \to 0 lim \frac{ln ( 1 + x )}{x} = 1$
$x \to + \infty lim \frac{ln x}{x} = 0$ (المقارنة بين النمو)
$x \to 0^{+} lim x ln x = 0$ (المقارنة بين النمو)

IV. المشتقة والمعادلات

المشتقة المركبة

$(ln u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}$ (إذا كان $u > 0$ )

المعادلات والمتراجحات

$ln x = a \Leftrightarrow x = e^{a}$ (مع $x > 0$ )
$ln x < a \Leftrightarrow 0 < x < e^{a}$
$ln x = ln y \Leftrightarrow x = y$ (مع $x, y > 0$ )

V. اللوغاريتم العشري

$lo g x = \frac{ln x}{ln 10}$ : يُستخدم في العلوم الفيزيائية (الأس الهيدروجيني، الديسيبل...).

$lo g (10) = 1$ ، $lo g (100) = 2$ ، إلخ.

VI. طريقة نموذج الباكالوريا 2024

المعطى: لتكن $f (x) = x ln x - x$ على $] 0, + \infty [$ .
1) احسب $x \to 0^{+} lim f (x)$ .
2) احسب $f^{'} (x)$ ، ادرس إشارتها وأنشئ جدول التغيرات.

الحل:

1) $x \to 0^{+} lim x ln x = 0$ (المقارنة بين النمو)، إذن $lim f (x) = 0 - 0 = 0$ .

2) $f^{'} (x) = ln x + x \cdot \frac{1}{x} - 1 = ln x$ .
$f^{'} (x) > 0 \Leftrightarrow ln x > 0 \Leftrightarrow x > 1$ .
$f$ متناقصة على $] 0, 1]$ ، متزايدة على $[1, + \infty [$ .
الحد الأدنى عند $x = 1$ : $f (1) = 1 \times 0 - 1 = - 1$ .

VII. أهم 5 أخطاء يجب تجنبها

كتابة $ln (a + b) = ln a + ln b$ . خطأ. الصيغة الصحيحة هي $ln (ab)$ .
حساب $(ln u)^{'} = \frac{1}{u}$ . خطأ، يجب $\frac{u ^{'}}{u}$ .
نسيان الشرط $u > 0$ من أجل $ln u$ .
حل $ln (x) = - 2$ مع نسيان أن $x = e^{- 2} > 0$ ، إذن الحل صحيح.
الاعتقاد أن $ln x < 0$ يعني $x < 0$ . خطأ، $ln x < 0$ إذا وفقط إذا $0 < x < 1$ .

📈 Figure clé

Courbe de

ln x

🔑 Formules clés à retenir

التعريف : $ln :] 0, + \infty [\to R$

$(ln x)^{'} = 1/ x$ ، $ln 1 = 0$ ، $ln e = 1$

الخصائص :

$ln (ab) = ln a + ln b$
$ln (a / b) = ln a - ln b$
$ln (a^{n}) = n ln a$

النهايات :

$x \to 0^{+} lim ln x = - \infty$
$x \to + \infty lim ln x / x = 0$

المشتقة : $(ln u)^{'} = u^{'} / u$

المعادلة : $ln x = a \Leftrightarrow x = e^{a}$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🎯 $ln$ يحول الضرب إلى جمع. مفيد جداً لاشتقاق الدوال المعقدة.
🎯 لحل $ln u (x) = ln v (x)$ : تحقق من $u (x) > 0$ و $v (x) > 0$ ، ثم $u = v$ .

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

طرق نموذجية — الدوال اللوغاريتمية

النوع 1: تبسيط عبارة تحتوي على $ln$

متى؟ عندما يُطلب كتابة عبارة تحتوي على $ln$ بشكل أبسط، أو وضعها على الشكل $ln (عدد واحد)$ .

تحقق أولاً من أن المعاملات موجبة قطعاً.
طبّق الخصائص: $ln (ab) = ln a + ln b$ ؛ $ln (\frac{a}{b}) = ln a - ln b$ ؛ $ln (a^{n}) = n ln a$ ؛ $ln (a) = \frac{1}{2} ln a$ .
استخدم القيم الأساسية: $ln 1 = 0$ و $ln e = 1$ .
اجمع وعامِل للحصول على الكتابة المطلوبة.

مثال سريع: $ln 8 + ln 2 - ln 4 = ln (\frac{8 \times 2}{4}) = ln 4 = 2 ln 2$ .

النوع 2: حل معادلة تحتوي على $ln$

متى؟ معادلة من النوع $ln (\dots) = ln (\dots)$ أو $ln (\dots) = k$ .

حدد أولاً مجال الصلاحية: كل معامل لـ $ln$ يجب أن يكون موجباً قطعاً.
إذا كان $ln A = ln B$ ، فإن $A = B$ ؛ إذا كان $ln A = k$ ، فإن $A = e^{k}$ .
حل المعادلة الجبرية المحصل عليها.
احتفظ فقط بالحلول المنتمية إلى مجال الصلاحية.

مثال سريع: $ln (x - 1) = ln 3$ مع $x > 1$ يعطي $x - 1 = 3$ ، أي $x = 4$ (مقبول).

النوع 3: حل متراجحة تحتوي على $ln$

متى؟ متراجحة من النوع $ln A < ln B$ أو $ln A < k$ .

ضع مجال الصلاحية (المعاملات موجبة قطعاً).
استخدم التزايد القطعي لـ $ln$ : $ln A < ln B ⟺ A < B$ (يُحفظ اتجاه المتراجحة).
بالنسبة لـ $ln A < k$ ، اكتب $k = ln (e^{k})$ ثم قارن: $A < e^{k}$ .
اقطع مجموعة الحلول مع مجال الصلاحية.

مثال سريع: $ln (x) < 0 = ln 1$ مع $x > 0$ يعطي $0 < x < 1$ .

النوع 4: حساب نهاية تحتوي على $ln$ (المقارنات النمائية)

متى؟ شكل غير معين من النوع $\frac{ln x}{x}$ ، $x ln x$ ، أو نهاية عند $0^{+}$ أو عند $+ \infty$ .

النهايات الأساسية: $x \to + \infty lim ln x = + \infty$ و $x \to 0^{+} lim ln x = - \infty$ .
المقارنات النمائية: $x \to + \infty lim \frac{ln x}{x} = 0$ و $x \to 0^{+} lim x ln x = 0$ (الـ $ln$ «أضعف» من $x$ ).
نهاية مرجعية: $x \to 0 lim \frac{ln ( 1 + x )}{x} = 1$ .
بالنسبة لدالة مركبة، ضع $X = u (x)$ وارجع إلى نهاية معروفة.

مثال سريع: $x \to + \infty lim \frac{ln x}{x ^{2}} = x \to + \infty lim \frac{ln x}{x} \times \frac{1}{x} = 0$ .

النوع 5: اشتقاق دالة تحتوي على $ln$

متى؟ عندما يُطلب مشتقة دالة تحتوي على $ln$ .

المشتقة الأساسية: $(ln x)^{'} = \frac{1}{x}$ على $] 0, + \infty [$ .
دالة مركبة: $(ln (u))^{'} = \frac{u ^{'}}{u}$ (تُستخدم عندما توجد عبارة داخل $ln$ ).
ادمج مع الجداء/القسمة إذا لزم الأمر؛ فكر في التبسيط أولاً باستخدام خصائص $ln$ .
حدد المجال حيث $u > 0$ .

مثال سريع: $f (x) = ln (x^{2} + 1)$ يعطي $f^{'} (x) = \frac{2 x}{x ^{2} + 1}$ .

النوع 6: دراسة كاملة لدالة تحتوي على $ln$

متى؟ تمرين «دراسة ورسم $f$ » حيث $f$ تحتوي على $ln$ .

المجال: فرض $u > 0$ لكل $ln (u)$ موجود.
النهايات عند الحدود، خاصة عند $0^{+}$ (غالباً $- \infty$ ، مقارب عمودي $x = 0$ ) وعند $+ \infty$ (المقارنات النمائية).
اشتق باستخدام $\frac{u ^{'}}{u}$ ، ادرس الإشارة وأنشئ جدول التغيرات.
ابحث عن نقاط التقاطع مع المحاور ( $f (x) = 0$ ) وارسم المنحنى.

مثال سريع: $f (x) = x - ln x$ على $] 0, + \infty [$ : $f^{'} (x) = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x - 1}{x}$ ، قيمة صغرى عند $x = 1$ مع $f (1) = 1$ .

النوع 7: استخدام اللوغاريتم العشري $lo g$ (العلوم التجريبية)

متى؟ سياق الأس الهيدروجيني، شدة الصوت، أو حل معادلة من النوع $a^{x} = b$ .

تذكر أن $lo g x = \frac{ln x}{ln 10}$ و $lo g 10 = 1$ ، $lo g 1 = 0$ .
نفس خصائص $ln$ : $lo g (ab) = lo g a + lo g b$ ، إلخ.
بالنسبة لـ $a^{x} = b$ (مع $a > 0$ )، خذ $ln$ : $x ln a = ln b$ ، إذن $x = \frac{ln b}{ln a}$ .
طبّق على السياق (مثلاً $pH = - lo g [H_{3} O^{+}]$ ).

مثال سريع: $2^{x} = 10$ يعطي $x = \frac{ln 10}{ln 2} \approx 3, 32$ .

Fonctions logarithmes — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

Exercices interactifs

71 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 71 corrigés

Exercices Faciles

26 exercices

Croissance comparée $\frac{\ln x}{x}$

Facile

Énoncé

Déterminer la limite :

$x \to + \infty lim \frac{ln x}{x}$

Ma réponse

Fonctions logarithmes

Fonctions logarithmes — Résumé de cours

Cours complet

Contenu du cours

I. دالة اللوغاريتم النيبيري

تعريف

II. الخصائص الجبرية (يجب حفظها عن ظهر قلب)

III. النهايات المهمة

IV. المشتقة والمعادلات

المشتقة المركبة

المعادلات والمتراجحات

V. اللوغاريتم العشري

VI. طريقة نموذج الباكالوريا 2024

VII. أهم 5 أخطاء يجب تجنبها

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

Méthodes types

طرق نموذجية — الدوال اللوغاريتمية

النوع 1: تبسيط عبارة تحتوي على ln

النوع 2: حل معادلة تحتوي على ln

النوع 3: حل متراجحة تحتوي على ln

النوع 4: حساب نهاية تحتوي على ln (المقارنات النمائية)

النوع 5: اشتقاق دالة تحتوي على ln

النوع 6: دراسة كاملة لدالة تحتوي على ln

النوع 7: استخدام اللوغاريتم العشري log (العلوم التجريبية)

Fonctions logarithmes — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Croissance comparée $\frac{\ln x}{x}$

Croissance comparée $x\ln x$ en $0^+$

Dérivée de ln(2x−1)

Dérivée de ln(x²+1)

Dérivée de (ln x)²

Domaine de définition de ln(2x-6)

Équation exponentielle simple

Équation ln(x)=3

Inéquation ln(x) ≤ 1

Limite de $\frac{\ln x}{x^2}$

Limite en $0^+$

Limite en $+\infty$ d'un logarithme simple

Équation logarithmique

Équation logarithmique simple

Équation ln

Calcul direct

Domaine d'une fonction ln

Simplification de $\ln$

Équation $\ln$

Propriétés du ln

Simplification d'expressions ln

Résolution d'une équation avec ln

Inéquation simple avec ln

Simplifier une expression avec ln

Tangente à la courbe de ln en 1

Variations de x − ln x

Exercices Intermédiaires

Asymptote horizontale

Asymptote verticale

Continuité par prolongement

Dérivée de ln((x−1)/(x+1))

Domaine de ln d'un quotient

Équation avec ln(x)+ln(x-1)

Équation du second degré en ln

Équation exponentielle quadratique

Extremum de (1 + ln x)/x

Extremum de (ln x)/x

Forme $\frac{\ln x}{x-1}$ en $1$

Forme indéterminée $x - \ln x$

Inéquation ln(2x-1) < ln(x+3)

Limite avec $\frac{\ln x}{\sqrt{x}}$

Dérivée de ln(u)

Étude de variations avec ln

Limite avec ln

Limite avec ln

Dérivée et étude

Équation logarithmique

Dérivée d'une composition

Inéquation $\ln$

Dérivée de $\ln$ composée

Dérivée d'une fonction avec ln