احسب التكاملات التالية

بالتعرف على دالة أصلية معتادة، احسب :

1. $A=\underset{1}{\overset{e}{\int }}\frac{1}{x}dx$

2. $E=\underset{e^2}{\overset{e^4}{\int }}\frac{\ln x}{x}dx$

3. $F=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\cos (2x)dx$

استخدام التكامل بالتجزئة

باستخدام التكامل بالتجزئة، احسب :

1. $C=\underset{1}{\overset{e}{\int }}x\ln xdx$

2. $D=\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}x\cos xdx$

احسب التكاملات التالية

بالتعرف على دالة أصلية معتادة، احسب:

$A=\underset{1}{\overset{e}{\int }}\frac{1}{x}dx;F=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\cos (2x)dx;G=\underset{1}{\overset{4}{\int }}\frac{3}{x^2}dx$

$H=\underset{2}{\overset{5}{\int }}\left(3x^2+4x-5\right)dx$

احسب التكاملات التالية

$D=\underset{-3}{\overset{2}{\int }}|x|dx;E=\underset{e^2}{\overset{e^4}{\int }}\frac{\ln x}{x}dx;O=\underset{e}{\overset{e^2}{\int }}\frac{1}{x\ln x}dx$

نص التمرين

الفضاء منسوب إلى معلم متعامد ومتجانس. احسب بـ cm³ حجم المجسم الدوراني الناتج عن الدوران الكامل للمنحنى $(C_f)$ حول المحور $(Ox)$ في كل من الحالات التالية:

1. $f(x)=e^x$ على $I=[0;1]$ ؛
2. $g(x)=\sqrt{1-x^2}$ على $I=[-1;1]$.

حساب التكاملات الأساسية

احسب التكاملات التالية بالتعرف على دالة أصلية معتادة:

1. $A=\underset{1}{\overset{e}{\int }}\frac{1}{x}dx$

2. $B=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sqrt{x+1}dx$

3. $F=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\cos (2x)dx$

4. $G=\underset{1}{\overset{4}{\int }}\frac{3}{x^2}dx$

5. $H=\underset{2}{\overset{5}{\int }}(3x^2+4x-5)dx$

نص التمرين

احسب النهاية التالية بالتعرف عليها كمجموع ريمان:

$\underset{n\to +\infty }{\lim }\sum _{k=1}^n\frac{k}{n^2}$

أوجد دالة أصلية للدالة $f(x)=\cos (x)$.

احسب المساحة تحت منحنى $f(x)=x$ بين $0$ و $2$.

احسب $\underset{1}{\overset{3}{\int }}(x^2+1)dx$.

لتكن الدالة $f(x)=3x^2$. أوجد دالة أصلية $F$ للدالة $f$ على المجال $I=[1,3]$.

احسب التكامل $\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\sin (x)dx$.

احسب مساحة الحيز المحصور بين منحنى الدالة $f(x)=x$ ومحور الأفاصيل على المجال $[0,2]$.

احسب التكامل $\underset{1}{\overset{4}{\int }}(2x+1)dx$.

احسب التكامل $\int (2x+1)dx$.

لتكن الدالة $f(x)=3x^2$. أوجد دالة أصلية $F$ للدالة $f$ على المجال $I=[1,4]$.

احسب التكامل $\underset{1}{\overset{2}{\int }}$ $(1/x)$ dx.

حدد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الدالة $f(x)=x^2$ ومحور الأفاصيل على المجال $[0,3]$.

لتكن الدالة $f(x)=\cos (x)$. أوجد دالة أصلية $F$ للدالة $f$.

لتكن الدالة $f(x)=3x^2+2$. أوجد دالة أصلية $F$ للدالة $f$.

التمرين 2

في معلم متعامد ممنظم (O, i, j)، نعتبر الدالتين f و g المعرفتين على [0 ; 2] بما يلي :

$f(x)=x^2$ و $g(x)=2x$.

1. بين أن المنحنيين الممثلين $C_f$ و $C_g$ يتقاطعان في نقطتين A و B يجب تحديد إحداثياتهما.
2. ادرس إشارة $g(x)-f(x)$ على المجال [0 ; 2].
3. احسب، بوحدة قياس المساحة، مساحة الحيز المستوي المحصور بين $C_f$ و $C_g$.

التمرين 1

نعتبر الدالة $f$ المعرفة على $\mathbb{R}$ بـ: $f(x)=3x^2-4x+2e^x$.

1. حدد الدالة الأصلية $F$ للدالة $f$ على $\mathbb{R}$ بحيث $F(0)=5$.
2. احسب التكامل $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(x)dx$.
3. استنتج القيمة الدقيقة لـ $I$، ثم أعط قيمة مقربة إلى $10^{-2}$ (نقبل أن $e\approx 2,718$).

التمرين 2 — الدوال الأصلية لدوال مركبة

لكل دالة من الدوال التالية، حدد دالة أصلية على المجال المحدد، مع تحديد الشكل المناسب $u^{\prime }\cdot \phi (u)$.

1. $f_1(x)=(2x+1)\times e^{x^2+x-3}$ على $\mathbb{R}$.
2. $f_2(x)=\frac{3x^2-2}{x^3-2x+7}$ على مجال $I$ يجب تحديده، حيث $x^3-2x+7>0$.
3. $f_3(x)=\frac{4x-1}{\sqrt{2x^2-x+3}}$ على $\mathbb{R}$ (نعتبر أن $2x^2-x+3>0$ لكل $x\in \mathbb{R}$).
4. احسب التكامل $K=\underset{0}{\overset{1}{\int }}x\cdot e^{x^2}dx$.

التمرين 1 — الدوال الأصلية والتكامل المحدد

نعتبر الدوال التالية المعرفة على المجالات المحددة:

1. حدد دالة أصلية F للدالة f المعرفة على $\mathbb{R}$ بـ $f(x)=3x^2-4x+5$, بحيث $F(0)=2$.
2. حدد دالة أصلية G للدالة g المعرفة على $]0;+\infty [$ بـ $g(x)=\frac{2x^3-3x+1}{x}$, مع تحديد المجموعة التي تكون G معرفة عليها.
3. احسب التكاملات التالية:
   أ) $I=\underset{1}{\overset{3}{\int }}(2x-1{)}^{2}dx$
   ب) $J=\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}(2\cos (x)+\sin (x))dx$

التمرين 1 — الدوال الأصلية والتكامل المحدد

نعتبر الدالة f المعرفة على $\mathbb{R}$ بـ: $f(x)=3x^2-4x+2e^x$.

1. حدد الدالة الأصلية F للدالة f على $\mathbb{R}$ بحيث $F(0)=1$.

2. احسب التكامل: $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(x)dx$.

3. نضع $g(x)=f(x)-2$. حدد إشارة g على $[0;1]$، ثم استنتج متراجحة يحققها $I$.

التمرين 2

لتكن g الدالة المعرفة على $[0;1]$ بما يلي: $g(x)=(2x+1)\times e^{x^2+x}$.

1. بين أن g تقبل دالة أصلية G على $[0;1]$ يجب تحديدها.
2. احسب التكامل $J=\underset{0}{\overset{1}{\int }}g(x)dx$.
3. احسب القيمة المتوسطة $\mu$ للدالة g على $[0;1]$، ثم أعط قيمة مقربة إلى $10^{-2}$.

نذكر أن $e\approx 2,718$.

التمرين 1 — الدوال الأصلية والتكامل المحدد

نعتبر الدالة $f$ المعرفة على $\mathbb{R}$ بـ: $f(x)=3x^2-4x+2e^x$.

1. حدد الدالة الأصلية $F$ للدالة $f$ على $\mathbb{R}$ بحيث $F(0)=1$. برر كل خطوة.

2. احسب التكامل: $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(x)dx$.

3. نعتبر الدالة $g$ المعرفة على $]0;+\infty [$ بـ: $g(x)=\frac{2x+1}{x}$.
   a) اكتب $g(x)$ في شكل يسمح بتحديد دالة أصلية للدالة $g$ بسهولة.
   b) استنتج دالة أصلية $G$ للدالة $g$ على $]0;+\infty [$.
   c) احسب $J=\underset{1}{\overset{e}{\int }}g(x)dx$، حيث $e$ يرمز لأساس اللوغاريتم الطبيعي.

التمرين 2

نعتبر الدالتين g و h المعرفتين على [0 ; 3] بما يلي: $g(x)=x^2$ و $h(x)=3x$.

1. بين أن $h(x)\ge g(x)$ لكل $x\in [0;3]$.
2. احسب المساحة A للمنطقة المحصورة بين المنحنيين الممثلين للدالتين g و h على [0 ; 3].
3. احسب القيمة المتوسطة $\mu$ للدالة g على [0 ; 3]، ثم فسر هذه النتيجة.

التمرين 1

نعتبر الدالة $f$ المعرفة على $\mathbb{R}$ بـ: $f(x)=3x^2-4x+2$.

1. حدد الدالة الأصلية $F$ للدالة $f$ على $\mathbb{R}$ بحيث $F(1)=0$.
2. احسب التكامل $I=\underset{0}{\overset{2}{\int }}f(x)dx$.
3. فسر هندسيا النتيجة المحصل عليها في 2.

التمرين 1

نعتبر الدالة $f$ المعرفة على $\mathbb{R}$ بما يلي: $f(x)=3x^2-4x+2$.

1. حدد جميع الدوال الأصلية للدالة $f$ على $\mathbb{R}$.
2. حدد الدالة الأصلية $F$ للدالة $f$ على $\mathbb{R}$ التي تحقق $F(1)=5$.
3. احسب التكامل $I=\underset{0}{\overset{2}{\int }}f(x)dx$ وفسر النتيجة هندسيا ($f$ موجبة على المجال [0 ; 2]).

التمرين 2 — المساحة المحصورة بين منحنيين

لتكن $f$ و $g$ دالتين معرفتين على $\mathbb{R}$ بما يلي: $f(x)=x^2$ و $g(x)=2x$.

1. حدد نقط تقاطع المنحنيين الممثلين $C_f$ و $C_g$.
2. ادرس إشارة $g(x)-f(x)$ على المجال $[0;2]$.
3. احسب، بوحدة قياس المساحة، المساحة A للمنطقة المحصورة بين $C_f$ و $C_g$.

التمرين 1 — حساب الدوال الأصلية والتكاملات

نعتبر الدوال المعرفة على المجالات المحددة.

1. حدد دالة أصلية F لكل دالة من الدوال التالية على المجال المحدد:

   1. $f(x)=3x^2-2x+5$ على $\mathbb{R}$
   2. $g(x)=(2x+1{)}^4$ على $\mathbb{R}$
   3. $h(x)=(3x^2+2x)\times e^{x^3+x^2}$ على $\mathbb{R}$
   4. $k(x)=\frac{4x-1}{2x^2-x+3}$ على $\mathbb{R}$ (نقبل أن $2x^2-x+3>0$ لكل $x\in \mathbb{R}$)

2. احسب التكاملات التالية:

   1. $I=\underset{0}{\overset{2}{\int }}(x^3-3x+2)dx$
   2. $J=\underset{0}{\overset{1}{\int }}x\cdot e^{x^2}dx$
   3. $K=\underset{1}{\overset{e}{\int }}\frac{2x+1}{x}dx$

التمرين 1 — الدوال الأصلية والتكامل المحدود

نعتبر الدالة $f$ المعرفة على $\mathbb{R}$ بـ: $f(x)=3x^2-4x+2$.

1. حدد الدالة الأصلية $F$ للدالة $f$ على $\mathbb{R}$ بحيث $F(1)=0$.
2. احسب التكامل $I=\underset{0}{\overset{2}{\int }}f(x)dx$ باستخدام المبرهنة الأساسية للتحليل.
3. تحقق من أن $I=F(2)-F(0)$.

التمرين 2 — المكاملة بالأجزاء ومساحة حيز من المستوى

نعتبر الدالة $f$ المعرفة على $[0;1]$ بما يلي: $f(x)=(x+1)\times e^x$.

1. بين أن $F(x)=x\times e^x$ هي دالة أصلية للدالة $f$ على $[0;1]$.

2. استنتج قيمة التكامل $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}(x+1)\times e^{x}dx$.

3. المنحنى الممثل للدالة $f$ في معلم متعامد $(O;i;j)$ يحدد مع محور الأفاصيل والمستقيمين اللذين معادلتاهما $x=0$ و $x=1$ حيزا $D$.

   1. علل كون الدالة $f$ موجبة على $[0;1]$.
   2. احسب المساحة $A$ للحيز $D$ بوحدة قياس المساحات (u.a.).

احسب التكاملات التالية:

1. $\underset{0}{\overset{1}{\int }}(3x^2-2x+1)dx$
2. $\underset{1}{\overset{e}{\int }}\frac{1}{x}dx$
3. $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{e}^{2x}dx$
4. $\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\cos (x)dx$
5. $\underset{1}{\overset{4}{\int }}\frac{1}{\sqrt{x}}dx$

احسب الدوال الأصلية التالية:

1. $\int (3x^2+2x-5)dx$
2. $\int \sin (2x)dx$
3. $\int e^{3x+1}dx$
4. $\int \frac{1}{3x-2}dx$
5. $\int {\cos }^2(x)dx$ (استخدم الصيغة ${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$)
6. $\int x\cdot \sqrt{x^2+1}dx$

1. أحسب القيمة المتوسطة للدالة $f(x)=x^2$ على المجال $[0,3]$.

2. أحسب مساحة الحيز المحصور بين:

1. المنحنى $y=x^2$ ومحور الأفاصيل والمستقيمين $x=1$ و $x=3$
2. المنحنيين $y=x^2$ و $y=x$ (بين نقط تقاطعهما)
3. المنحنى $y=\sin (x)$ ومحور الأفاصيل على المجال $[0,2\pi ]$

أحسب التكاملات التالية باستعمال تغيير المتغير أو بالتعرف على الشكل:

1. I = $\underset{0}{\overset{1}{\int }}x\cdot e^{x^2}dx$
2. J = $\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\sin (2x)dx$
3. K = $\underset{1}{\overset{4}{\int }}\frac{2x+1}{x^2+x}dx$

نعتبر المنحنى C الذي معادلته $y=\sqrt{x}$ على المجال $[0,4]$.

1. ارسم تخطيطيا المنحنى C على المجال $[0,4]$.
2. احسب المساحة A للمنطقة المحصورة بين C، محور الأفاصيل والمستقيم $x=4$.
3. ندير هذه المنطقة دورة كاملة حول محور الأفاصيل. احسب الحجم V للمجسم الدوراني المحصل عليه (بوحدات الحجم).
4. تطبيق عددي: أعط القيمة المضبوطة لـ V، ثم قيمة مقربة إلى الجزء من المائة (استعمل $\pi \approx 3.14$).

احسب كلاً من التكاملات التالية:

1. I = $\underset{1}{\overset{3}{\int }}(2x+3)dx$
2. J = $\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\cos (x)dx$
3. K = $\underset{0}{\overset{1}{\int }}(3x^2-2x+1)dx$
4. L = $\underset{1}{\overset{4}{\int }}\frac{1}{\sqrt{x}}dx$

لتكن $f(x)=x^2-4$ معرفة على $\mathbb{R}$.

1. أوجد جذور الدالة f (حدود التكامل الطبيعية).
2. ادرس إشارة الدالة f على المجال المحدد.
3. احسب مساحة الحيز المحصور بين منحنى الدالة $C_f$ ومحور الأفاصيل.