احسب مشتقة كل دالة من الدوال التالية:

1. $f(x)=x^3-4x^2+7x-2$
2. $g(x)=(2x+1)(x^2-3)$
3. $h(x)=\frac{3x-1}{x+2}$
4. $k(x)=\sqrt{2x+5}$
5. $m(x)=e^{3x-1}$
6. $p(x)=\ln (x^2+1)$

لتكن $f(x)=x^3-3x+1$.

1. احسب $f^{\prime }(x)$.
2. حدد معادلة المماس (T) للمنحنى $C_f$ في النقطة التي أفصولها $x_0=1$.
3. حدد نقط المنحنى $C_f$ التي يكون فيها المماس أفقيا.

احسب مشتقة كل دالة من الدوال التالية:

1. $f(x)=(x^2+1)\cdot \sin (x)$
2. $g(x)=e^x\cdot \cos (x)$
3. $h(x)=\frac{\sin (x)}{x^2+1}$
4. $k(x)=\ln (x^2+x+1)$
5. $m(x)=\sqrt{x^2-3x+2}$
6. $p(x)=e^{\sin (x)}$

احسب مشتقات الدوال التالية:

1. $f(x)=x^3-2x^2+5x-3$
2. $g(x)=\frac{2x+1}{x-3}$
3. $h(x)=\sqrt{3x^2+1}$
4. $k(x)={\sin }^2(x)+{\cos }^2(x)$

لتكن $f(x)=x^2\cdot e^x$.

1. احسب $f^{\prime }(x)$.
2. أعطِ معادلة المماس لمنحنى الدالة $f$ في النقطة ذات الأفصول $x=0$.
3. أعطِ معادلة المماس لمنحنى الدالة $f$ في النقطة ذات الأفصول $x=1$.

لتكن $f(x)=\ln (x^2+1)$.

1. احسب $f^{\prime }(x)$.
2. احسب $f^{\prime \prime }(x)$.
3. حدد نقط الانعطاف لمنحنى الدالة $f$ (النقط التي يتغير فيها إشارة $f^{\prime \prime }$).

1. لتكن $f$ الدالة المعرفة على $[0;2\pi ]$ بـ $f(x)=\sin (x)+\cos (x)$. بيّن أن $f^{\prime }$ تنعدم مرة واحدة على الأقل على $\left]0;2\pi \right[$.
2. لتكن $g$ الدالة المعرفة على $\mathbb{R}$ بـ $g(x)=x(x-1)(x+2)(x-3)$. بيّن أن المعادلة $g^{\prime }(x)=0$ تقبل ثلاثة حلول على الأقل في $\mathbb{R}$.

احسب المشتقة للدالة $h$ المعرفة بما يلي: $h(x)=e^x+2x$.

لتكن الدالة $f(x)=\sin (x)+\cos (x)$. احسب المشتقة $f^{\prime }(x)$.

لتكن الدالة $f$ المعرفة بما يلي: $f(x)=3x^2+2x-5$. بين أن $f$ قابلة للاشتقاق في $x=1$ واحسب $f^{\prime }(1)$.

احسب مشتقة الدالة $f$ المعرفة بـ $f(x)=e^x+2x$.

حدد معادلة المماس لمنحنى $f(x)=\sin (x)$ عند النقطة ذات الفاصلة $x=\frac{\pi }{4}$.

لتكن الدالة $g$ المعرفة بما يلي: $g(x)=x^3-3x+4$. أوجد معادلة المماس لمنحنى الدالة $g$ في النقطة التي أفصولها $x=2$.

لتكن $f(x)=\sqrt{x+1}$. أثبت أن $f$ قابلة للاشتقاق عند $x=0$ واحسب $f^{\prime }(0)$.

لتكن الدالة $f(x)=3x^2+5x-2$. احسب $f^{\prime }(x)$.

حدد معادلة المماس لمنحنى الدالة $f(x)=x^2+2$ في النقطة التي أفصولها $a=1$.

لتكن الدالة $g(x)=\sin (x)$. احسب $g^{\prime }(\frac{\pi }{4})$.

بين أن الدالة $h(x)=\frac{1}{x-2}$ قابلة للاشتقاق على المجال $]2,+\infty [$.

لتكن الدالة $h$ معرفة بـ $h(x)=\sin (2x)$. احسب $h^{\prime }(x)$ و $h^{\prime }\left(\frac{\pi }{4}\right)$.

لتكن الدالة $f$ المعرفة بما يلي: $f(x)=3x^2+5x-2$. أحسب $f^{\prime }(x)$.

لتكن الدالة $g$ المعرفة بما يلي: $g(x)=1/x$. احسب $g^{\prime }(x)$.

لتكن الدالة $h$ المعرفة بـ $h(x)=x^3-3x+2$. أوجد معادلة المماس للمنحنى في النقطة ذات الأفصول $a=1$.

لنعتبر الدالة $f$ المعرفة بـ $f(x)=|x|$. هل $f$ قابلة للاشتقاق عند $x=0$ ؟ برر إجابتك.

لتكن الدالة $f$ معرفة بـ $f(x)=3x^2+5x-2$. احسب المشتقة $f^{\prime }(x)$.

لتكن الدالة $g$ المعرفة بما يلي: $g(x)=x^3-4x$. أوجد معادلة المماس لمنحنى الدالة $g$ في النقطة التي أفصولها $a=2$.

التمرين 1 — دراسة دالة كسرية

نعتبر الدالة f المعرفة على $\mathbb{R}\setminus \{2\}$ بما يلي :

$f(x)=\frac{x^2-3x+4}{x-2}$

1. حدد نهايات الدالة f عند $-\infty$، وعند $+\infty$، وعند $2^{-}$ وعند $2^{+}$. استنتج مقاربات المنحنى الممثل للدالة $C_f$.
2. احسب $f^{\prime }(x)$ لكل $x\in \mathbb{R}\setminus \{2\}$. ادرس إشارة $f^{\prime }(x)$ ثم ضع جدول تغيرات الدالة f.
3. اكتب معادلة المماس للمنحنى $C_f$ في النقطة التي أفصولها $x=0$.

التمرين 2 — القابلية للاشتقاق في نقطة

نعتبر الدالة $f$ المعرفة على $\mathbb{R}$ بـ:

$f(x)=x|x-1|+2$

1. تحقق من أن $f$ متصلة عند $x=1$.
2. ادرس قابلية $f$ للاشتقاق عند $x=1$ بحساب نهايات معدل التزايد من اليسار ومن اليمين. فسر النتيجة بيانياً.
3. نضع $g(x)=x^2-x+2$ من أجل $x\ge 1$. احسب $g^{\prime }(x)$ وحدد نقاط منحنى $g$ حيث يكون المماس أفقياً.

التمرين 2 — دراسة دالة كسرية

نعتبر الدالة g المعرفة بما يلي: $g(x)=\frac{2x^2+x-1}{x-1}$، ومجموعة تعريفها $D_g=\mathbb{R}\setminus \{1\}$.

1. حدد نهايات g عند $+\infty$ و $-\infty$ و $1^{+}$ و $1^{-}$. استنتج المقاربات المحتملة للمنحنى $C_g$.
2. أنجز القسمة الإقليدية لـ $2x^2+x-1$ على $x-1$، ثم عبر عن g(x) على الشكل $g(x)=ax+b+\frac{k}{x-1}$ حيث a و b و k أعداد حقيقية يجب تحديدها.
3. استنتج المقارب المائل للمنحنى $C_g$ ووضع $C_g$ بالنسبة لهذا المقارب.
4. احسب $g^{\prime }(x)$ ثم ضع جدول تغيرات g على كل مجال من مجالات $D_g$.

التمرين 1 — القابلية للاشتقاق ومعادلة المماس

نعتبر الدالة $f$ المعرفة على $\mathbb{R}$ بـ: $f(x)=x^3-3x^2+2$.

1. احسب $f^{\prime }(x)$، مشتقة $f$ على $\mathbb{R}$.
2. أنشئ جدول تغيرات $f$ على $\mathbb{R}$.
3. حدد معادلة المماس $(T)$ للمنحنى $C_f$ عند النقطة ذات الفاصلة $a=1$.
4. بين أن المماس $(T)$ موازٍ للمستقيم ذي المعادلة $y=-3x+5$. هل هما متطابقان؟

التمرين 1 — دراسة دالة كسرية

نعتبر الدالة $f$ المعرفة على $\mathbb{R}\setminus \{2\}$ بما يلي:

$f(x)=\frac{x^2-3x+4}{x-2}$

الجزء A — دراسة أولية

1. حدد مجموعة تعريف الدالة $f$، $D_f$.
2. احسب نهايات الدالة $f$ عند $-\infty$، وعند $+\infty$، وعند 2 (على اليسار وعلى اليمين). استنتج المقاربات المحتملة للمنحنى $C_f$.
3. أنجز القسمة الإقليدية لـ $x^2-3x+4$ على $x-2$، ثم استنتج مقارباً مائلاً للمنحنى $C_f$.

الجزء B — المشتقة والتغيرات

4. احسب $f^{\prime }(x)$ لكل $x\in D_f$.
5. ادرس إشارة $f^{\prime }(x)$ وضع جدول تغيرات الدالة $f$.
6. اكتب معادلة المماس للمنحنى $C_f$ في النقطة التي أفصولها $x=0$.

التمرين 1 – دراسة دالة كسرية

نعتبر الدالة $f$ المعرفة على $\mathbb{R}\setminus \{2\}$ بما يلي:

$f(x)=\frac{x^2-3x+4}{x-2}$

1. احسب $f^{\prime }(x)$ لكل $x\in \mathbb{R}\setminus \{2\}$. اكتب $f^{\prime }(x)$ على شكل كسر غير قابل للاختزال.
2. ادرس إشارة $f^{\prime }(x)$ واستنتج تغيرات الدالة $f$ على $]-\infty ;2[$ وعلى $]2;+\infty [$.
3. بين أن المستقيم $\Delta$ الذي معادلته $y=x-1$ مقارب مائل للمنحنى $C_f$ عند $+\infty$ وعند $-\infty$.
4. اكتب معادلة المماس للمنحنى $C_f$ في النقطة التي أفصولها $x=0$.

نعتبر الدالة $f$ المعرفة على $\mathbb{R}$ بـ:

$f(x)=x|x|+2x$

نذكر أن $|x|=x$ إذا كان $x\ge 0$ و $|x|=-x$ إذا كان $x<0$.

1. عبر عن $f(x)$ بدون قيمة مطلقة حسب ما إذا كان $x\ge 0$ أو $x<0$.
2. ادرس قابلية الاشتقاق للدالة $f$ عند $0$ بحساب نهايات معدل التزايد من اليسار ومن اليمين.
3. استنتج إذا كانت $f$ تقبل مماسا عند $x=0$. إذا كان الجواب نعم، أعط معادلته.
4. احسب $f^{\prime }(x)$ من أجل $x>0$ ومن أجل $x<0$، ثم أنشئ جدول إشارة $f^{\prime }$.

لتكن الدالة f المعرفة على $\mathbb{R}\setminus \{2\}$ بما يلي :

$f(x)=\frac{x^2-3x+4}{x-2}$

1. حدد مجموعة تعريف الدالة $D_f$.
2. احسب $f^{\prime }(x)$ باستخدام قاعدة اشتقاق خارج دالتين. بسّط النتيجة.
3. ادرس إشارة $f^{\prime }(x)$ واستنتج تغيرات الدالة f على كل مجال من مجالات $D_f$.
4. حدد معادلة المماس للمنحنى $C_f$ في النقطة التي أفصولها $x=3$.
5. بين أن المستقيم الذي معادلته $y=x-1$ مقارب مائل للمنحنى $C_f$ عند $+\infty$ وعند $-\infty$.

نعتبر الدالة $f$ المعرفة على $\mathbb{R}\setminus \{2\}$ بما يلي :

$f(x)=\frac{x^2-3x+4}{x-2}$

1. أحسب $f^{\prime }(x)$ لكل $x\in \mathbb{R}\setminus \{2\}$.
2. ضع جدول تغيرات الدالة $f$.
3. حدد معادلة المماس للمنحنى $C_f$ في النقطة التي أفصولها $x=0$.
4. بين أن المستقيم الذي معادلته $y=x-1$ مقارب مائل للمنحنى $C_f$ بجوار $+\infty$ وبجوار $-\infty$.

التمرين 2 — القابلية للاشتقاق في نقطة

نعتبر الدالة $f$ المعرفة على $\mathbb{R}$ بـ:

$f(x)=x^2+1$ إذا كان $x\le 1$، و $f(x)=ax+b$ إذا كان $x>1$،

حيث $a$ و $b$ عددان حقيقيان.

1. حدد قيمتي $a$ و $b$ لكي تكون $f$ متصلة عند $x=1$.
2. بالقيم التي تم إيجادها، ادرس قابلية $f$ للاشتقاق عند $x=1$ باستخدام التعريف (معدل التزايد).
3. هل يقبل المنحنى $C_f$ مماسا عند النقطة ذات الفاصلة $x=1$؟ إذا كان الجواب نعم، أعط معادلته.
4. احسب $f^{\prime }(x)$ على $\mathbb{R}\setminus \{1\}$ وأنشئ جدول تغيرات $f$.

التمرين 1 — دراسة دالة كثيرة الحدود

نعتبر الدالة f المعرفة على $\mathbb{R}$ بما يلي :

$f(x)=x^3-3x^2+4$

1. احسب $f^{\prime }(x)$، مشتقة الدالة f.
2. ادرس إشارة $f^{\prime }(x)$ ثم ضع جدول تغيرات الدالة f.
3. حدد القيم القصوى المحلية للدالة f (مع تحديد ما إذا كانت قيمة قصوى عظمى أو صغرى محلية).
4. اكتب معادلة المماس للمنحنى $C_f$ في النقطة التي أفصولها $x=1$.

التمرين 2 — الدالة الأسية والمماس

نعتبر الدالة g المعرفة على $\mathbb{R}$ بما يلي :

$g(x)=(x^2+2x-1)\cdot e^x$

1. أحسب $g^{\prime }(x)$.
2. حل المعادلة $g^{\prime }(x)=0$ ثم ضع جدول تغيرات الدالة g.
3. بين أن المماس للمنحنى $C_g$ في النقطة التي أفصولها $x=0$ يمر من النقطة $A(1;0)$.

التمرين 1 — دراسة دالة كثيرة الحدود

نعتبر الدالة f المعرفة على $\mathbb{R}$ بما يلي :

$f(x)=x^3-3x^2+4$

1. احسب $f^{\prime }(x)$، المشتقة للدالة f.
2. ادرس إشارة $f^{\prime }(x)$ ثم ضع جدول تغيرات الدالة f.
3. حدد القيم القصوى المحلية للدالة f (طبيعتها، أفصولها، قيمتها).
4. اكتب معادلة المماس للمنحنى $C_f$ في النقطة ذات الأفصول $x=1$.