Divisibilité, PGCD et PPCM — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

الفصل 6: القابلية للقسمة، القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر

أولاً. القابلية للقسمة

العدد الصحيح a قابل للقسمة على العدد الصحيح b (b ≠ 0) إذا وُجد عدد صحيح k بحيث a = b × k.
نقول أيضاً: b هو قاسم لـ a، أو a هو مضاعف لـ b.

ثانياً. معايير القابلية للقسمة

على 2: رقم الوحدات ∈ {0,2,4,6,8}
على 3: مجموع الأرقام قابل للقسمة على 3
على 5: رقم الوحدات ∈ {0,5}
على 9: مجموع الأرقام قابل للقسمة على 9
على 10: رقم الوحدات = 0
على 4: الرقمان الأخيران يشكلان عدداً قابلاً للقسمة على 4

ثالثاً. الأعداد الأولية والتحليل

العدد الصحيح ≥ 2 هو عدد أولي إذا كان له قاسمان فقط: 1 والعدد نفسه.
الأعداد الأولية: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29…
كل عدد صحيح ≥ 2 يكتب بطريقة وحيدة كجداء عوامل أولية.

مثال: 360 = 2³ × 3² × 5

رابعاً. القاسم المشترك الأكبر (PGCD) — خوارزمية إقليدس

PGCD(a, b): نقسم a على b، ونسجل الباقي r. ثم PGCD(a,b) = PGCD(b,r). نستمر حتى يصبح r = 0.
مثال: PGCD(84,56): 84=56×1+28 → 56=28×2+0 → PGCD = 28

خامساً. المضاعف المشترك الأصغر (PPCM)

PPCM(a,b) = a × b / PGCD(a,b)
مثال: PPCM(84,56) = 84×56/28 = 168

🔑 Formules clés à retenir

معيار قابلية القسمة على 3 : مجموع الأرقام يقبل القسمة على 3
معيار قابلية القسمة على 9 : مجموع الأرقام يقبل القسمة على 9
PGCD(a,b) = PGCD(b, a mod b) (إقليدس)
PPCM(a,b) = a×b / PGCD(a,b)

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 أخطاء شائعة

❌

معيار قابلية القسمة على 6 منسي: يكون العدد قابلاً للقسمة على 6 إذا كان قابلاً للقسمة على 2 و على 3. الشرطان كلاهما إجباريان!

❌

الخلط بين القاسم المشترك الأكبر (PGCD) والمضاعف المشترك الأصغر (PPCM): القاسم المشترك الأكبر هو أكبر قاسم مشترك (نقسم)، والمضاعف المشترك الأصغر هو أصغر مضاعف مشترك (نضرب). PGCD ≤ min(a,b) و PPCM ≥ max(a,b).

❌

تطبيق خوارزمية إقليدس بشكل خاطئ: PGCD(84, 56) : 84 = 56×1 + 28 → PGCD(56, 28) : 56 = 28×2 + 0 → PGCD = 28. نتوقف عندما يكون الباقي 0.

🟢 نصائح احترافية

✅

معايير سريعة: ÷2 → الرقم الأخير زوجي؛ ÷5 → ينتهي بـ 0 أو 5؛ ÷10 → ينتهي بـ 0؛ ÷4 → الرقمان الأخيران قابلان للقسمة على 4.

✅

تبسيط كسر باستخدام القاسم المشترك الأكبر: 36/48 → PGCD(36,48)=12 → 36/12=3, 48/12=4 → الكسر المبسّط = 3/4.

💡

إيجاد المضاعف المشترك الأصغر بسهولة: إذا كان PGCD(a,b)=1 (أوليان فيما بينهما)، فإن PPCM = a×b. مثال: PPCM(7,9) = 63 لأن PGCD(7,9)=1.

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

Méthodes types — Divisibilité, PGCD et PPCM

Type 1 : Utiliser les critères de divisibilité

Quand ? Quand je veux savoir si un nombre est divisible par $2$ , $3$ , $5$ ou $9$ sans poser la division.

Par $2$ : le nombre se termine par $0$ , $2$ , $4$ , $6$ ou $8$ .
Par $5$ : le nombre se termine par $0$ ou $5$ .
Par $3$ (ou $9$ ) : la somme de ses chiffres est divisible par $3$ (ou par $9$ ).

Exemple éclair : $72$ est divisible par $3$ car $7 + 2 = 9$ et $9$ est divisible par $3$ .

Type 2 : Décomposer un nombre en produit de facteurs premiers

Quand ? Quand je dois écrire un nombre comme un produit de nombres premiers.

Je divise le nombre par le plus petit nombre premier possible ( $2$ , puis $3$ , puis $5$ ...).
Je recommence avec le résultat obtenu, jusqu'à arriver à $1$ .
J'écris le nombre comme le produit de tous les diviseurs utilisés.

Exemple éclair : $12 = 2 \times 2 \times 3$ .

Type 3 : Calculer le PGCD par les diviseurs communs

Quand ? Quand je cherche le plus grand diviseur commun à deux petits nombres.

J'écris la liste des diviseurs du premier nombre.
J'écris la liste des diviseurs du second nombre.
Je repère les diviseurs communs et je garde le plus grand : c'est le PGCD.

Exemple éclair : Diviseurs de $12$ : $1, 2, 3, 4, 6, 12$ ; de $18$ : $1, 2, 3, 6, 9, 18$ . Donc $pgcd (12; 18) = 6$ .

Type 4 : Calculer le PGCD par soustractions successives

Quand ? Quand les nombres sont plus grands et que lister les diviseurs serait trop long.

Je soustrais le plus petit nombre du plus grand.
Je remplace le grand nombre par ce résultat et je recommence.
Quand les deux nombres deviennent égaux, ce nombre est le PGCD.

Exemple éclair : Pour $20$ et $12$ : $20 - 12 = 8$ , puis $12 - 8 = 4$ , puis $8 - 4 = 4$ . Donc $pgcd (20; 12) = 4$ .

Type 5 : Calculer le PPCM de deux nombres

Quand ? Quand je cherche le plus petit nombre multiple à la fois des deux nombres.

J'écris la liste des premiers multiples du premier nombre.
J'écris la liste des premiers multiples du second nombre.
Je repère le plus petit multiple qui apparaît dans les deux listes : c'est le PPCM.

Exemple éclair : Multiples de $4$ : $4, 8, 12, 16$ ; de $6$ : $6, 12, 18$ . Donc $ppcm (4; 6) = 12$ .

Divisibilité, PGCD et PPCM — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

Exercices interactifs

50 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 50 corrigés

Exercices Faciles

21 exercices

معايير قابلية القسمة

Facile

Énoncé

لكل عدد من الأعداد التالية، حدد ما إذا كان قابلاً للقسمة على 2، 3، 5، 9 و 10 مع التعليل:

4 272
3 015
7 200

Ma réponse

Divisibilité, PGCD et PPCM

Divisibilité, PGCD et PPCM — Résumé de cours

Cours complet

Contenu du cours

الفصل 6: القابلية للقسمة، القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر

أولاً. القابلية للقسمة

ثانياً. معايير القابلية للقسمة

ثالثاً. الأعداد الأولية والتحليل

رابعاً. القاسم المشترك الأكبر (PGCD) — خوارزمية إقليدس

خامساً. المضاعف المشترك الأصغر (PPCM)

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

🔴 أخطاء شائعة

🟢 نصائح احترافية

Méthodes types

Méthodes types — Divisibilité, PGCD et PPCM

Type 1 : Utiliser les critères de divisibilité

Type 2 : Décomposer un nombre en produit de facteurs premiers

Type 3 : Calculer le PGCD par les diviseurs communs

Type 4 : Calculer le PGCD par soustractions successives

Type 5 : Calculer le PPCM de deux nombres

Divisibilité, PGCD et PPCM — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

معايير قابلية القسمة

تفكيك إلى جداء عوامل أولية

قواسم 24 و 30

معايير قابلية القسمة

قواسم 24 و 36

القاسم المشترك الأكبر بطرح متتالٍ

قابلية القسمة على 2

قابلية القسمة على 2

مجموع الأرقام

معايير قابلية القسمة على 5

قابلية القسمة على 10

مجموع الأرقام

قابلية القسمة على 2

قابلية القسمة على 5

قابلية القسمة على 10

معيار قابلية القسمة على 2

معيار قابلية القسمة على 5

مجموع الأرقام و قابلية القسمة على 3

الأعداد الأولية

قابلية القسمة على 5

قابلية القسمة على 10

Exercices Intermédiaires

القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر

المضاعف المشترك الأصغر

تبسيط الكسور باستخدام القاسم المشترك الأكبر

PGCD(252, 168) بطريقة إقليدس و PPCM

تفكيك 360 إلى جداء عوامل أولية

القاسم المشترك الأكبر بخوارزمية إقليدس

تفكيك إلى جداء عوامل أولية

قابلية القسمة على 9

القاسم المشترك الأكبر لعددين

تفكيك إلى جداء عوامل أولية

معايير قابلية القسمة على 4

قابلية القسمة على 4

Exercices Difficiles

باقات متماثلة

الأعداد الصحيحة القابلة للقسمة على 4 و 6

أعداد متتالية وأولية فيما بينها

فرق مختلطة — القاسم المشترك الأكبر

أصغر عدد صحيح يقبل القسمة على 6 و 8 و 15

مسألة تطبيقية حول القاسم المشترك الأكبر

مسائل تطبيقية حول المضاعف المشترك الأصغر

القواسم والمضاعفات

مسألة قابلية القسمة

مسألة حول القاسم المشترك الأكبر

تمرين حول القواسم

القاسم المشترك الأكبر لـ 81 و 27

المضاعف المشترك الأصغر لعدة أعداد

تحدي بيع الفواكه

عوامل أولية

القاسم المشترك الأكبر لثلاثة أعداد

المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أعداد

Exercices supplémentaires

—

Quiz — Divisibilité, PGCD et PPCM

Continue ton chapitre là où tu l'as laissé