Proportionnalité

التناسبية

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Proportionnalité — Résumé de cours

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma

📖 Cours complet

📚 Contenu du cours

Chapitre 5 : La Proportionnalité

I. Notion de proportionnalité

Deux grandeurs sont proportionnelles si l'une s'obtient en multipliant l'autre par un nombre constant appelé coefficient de proportionnalité ou rapport.

Si y est proportionnel à x : y = k × x, où k est le coefficient.

Exemple : Le prix total et la quantité d'articles :
Si un stylo coûte 3 DH, et j'achète x stylos, le prix total est y = 3x DH.
Le coefficient de proportionnalité est 3.

II. Tableau de proportionnalité

Un tableau est un tableau de proportionnalité si, pour passer d'une ligne à l'autre, on multiplie (ou divise) toujours par le même nombre.

Exemple :

Nombre de stylos 1 2 3 5
Prix (DH) 3 6 9 15

Coefficient : 3/1 = 6/2 = 9/3 = 15/5 = 3

III. Reconnaître une proportionnalité

Méthode : Vérifier que les quotients de la 2ème ligne par la 1ère sont constants.

k = y₁/x₁ = y₂/x₂ = y₃/x₃ = ...

Exemple : Les résultats 3/1 = 3, 6/2 = 3, 9/3 = 3 sont tous égaux, donc c'est proportionnel.

IV. Produit en croix (quatrième proportionnelle)

Si a/b = c/d, alors a × d = b × c
(Produit des extrêmes = Produit des moyennes)

Utilité : Trouver une valeur manquante.

Exemple : Si 3 stylos coûtent 9 DH, combien coûtent 5 stylos ?
3/9 = 5/x
3 × x = 9 × 5
3x = 45
x = 15 DH

V. Pourcentages

Un pourcentage est une fraction avec dénominateur 100. On le note avec le symbole %.
t% = t/100
t% d'une quantité Q = (t/100) × Q

Exemples :

  • 25% de 80 = (25/100) × 80 = 0,25 × 80 = 20
  • 10% de 150 = (10/100) × 150 = 0,1 × 150 = 15

Augmentation/Diminution :

  • Augmenter de 20% : Multiplier par 1,20
  • Diminuer de 20% : Multiplier par 0,80
  • Augmenter de 50% : Multiplier par 1,50
  • Diminuer de 50% : Multiplier par 0,50

VI. Échelle

L'échelle d'une carte ou d'un plan est le rapport entre la distance sur le plan et la distance réelle.
Échelle = distance sur le plan / distance réelle

Exemple : Échelle 1/50 000 signifie :

  • 1 cm sur la carte représente 50 000 cm = 500 m en réalité
  • 1 mm sur la carte = 50 m en réalité

Utilisation : Si deux villes sont séparées par 8 cm sur une carte à l'échelle 1/50 000 :

  • Distance réelle = 8 cm × 50 000 = 400 000 cm = 4 km

🔑 Formules clés à retenir

  • Proportionnalité : y = k × x
  • Produit en croix : a/b = c/d ⇒ ad = bc
  • Pourcentage : t% de Q = (t/100) × Q
  • Échelle : Échelle = distance plan / distance réelle
  • Augmentation de t% : multiplier par (1 + t/100)
  • Diminution de t% : multiplier par (1 - t/100)
⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 Pièges classiques

❌

Mal utiliser le produit en croix : si a/b = c/d, alors ad = bc (croix = diagonales). Ne pas confondre avec a×b = c×d !

❌

Augmentation et diminution successives : une augmentation de 20% puis une diminution de 20% ne redonne PAS le prix initial. Le résultat est une diminution de 4% (0,8 × 1,2 = 0,96).

❌

Confondre échelle et réalité : avec une échelle 1/50 000, 1 cm sur le plan = 50 000 cm = 500 m en réalité. Toujours convertir les unités !

🟢 Astuces de pros

✅

Vérifier la proportionnalité : calcule le rapport y/x pour chaque paire de valeurs. S'ils sont tous égaux, le tableau est proportionnel.

✅

Augmentation de t% : multiplie par (1 + t/100). Augmentation de 15% → × 1,15. Plus rapide que de calculer le pourcentage séparément !

💡

Repérer une situation proportionnelle : si on double une quantité et que l'autre double aussi, c'est proportionnel. Vérifie toujours avec 0 → 0 (passage par l'origine).