Divisibilité, PGCD et PPCM

القابلية للقسمة، ق.م.أ و م.م.م

📖 Cours complet inclus ✏️ 16 exercices interactifs 📄 PDF téléchargeable Partager

Divisibilité, PGCD et PPCM — Résumé de cours

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma

📖 Cours complet

📚 Contenu du cours

Chapitre 6 : Divisibilité, PGCD et PPCM

I. Divisibilité

Un entier a est divisible par un entier b (b ≠ 0) s'il existe un entier k tel que a = b × k.
On dit aussi : b est un diviseur de a, ou a est un multiple de b.

II. Critères de divisibilité

  • Par 2 : chiffre des unités ∈ {0,2,4,6,8}
  • Par 3 : somme des chiffres divisible par 3
  • Par 5 : chiffre des unités ∈ {0,5}
  • Par 9 : somme des chiffres divisible par 9
  • Par 10 : chiffre des unités = 0
  • Par 4 : les deux derniers chiffres forment un nombre divisible par 4

III. Nombres premiers et décomposition

Un entier ≥ 2 est premier s'il n'a que deux diviseurs : 1 et lui-même.
Premiers : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29…
Tout entier ≥ 2 s'écrit de façon unique comme produit de facteurs premiers.

Exemple : 360 = 2³ × 3² × 5

IV. PGCD — Algorithme d'Euclide

PGCD(a, b) : diviser a par b, noter le reste r. Puis PGCD(a,b) = PGCD(b,r). Continuer jusqu'à r = 0.
Exemple : PGCD(84,56) : 84=56×1+28 → 56=28×2+0 → PGCD = 28

V. PPCM

PPCM(a,b) = a × b / PGCD(a,b)
Exemple : PPCM(84,56) = 84×56/28 = 168

🔑 Formules clés à retenir

  • Critère ÷3 : somme des chiffres divisible par 3
  • Critère ÷9 : somme des chiffres divisible par 9
  • PGCD(a,b) = PGCD(b, a mod b) (Euclide)
  • PPCM(a,b) = a×b / PGCD(a,b)
⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 Pièges classiques

❌

Critère de divisibilité par 6 oublié : un nombre est divisible par 6 s'il est divisible par 2 ET par 3. Les deux conditions sont obligatoires !

❌

Confondre PGCD et PPCM : le PGCD est le plus grand diviseur commun (on divise), le PPCM est le plus petit multiple commun (on multiplie). PGCD ≤ min(a,b) et PPCM ≥ max(a,b).

❌

Mal appliquer Euclide : PGCD(84, 56) : 84 = 56×1 + 28 → PGCD(56, 28) : 56 = 28×2 + 0 → PGCD = 28. On s'arrête quand le reste est 0.

🟢 Astuces de pros

✅

Critères rapides : ÷2 → dernier chiffre pair ; ÷5 → finit par 0 ou 5 ; ÷10 → finit par 0 ; ÷4 → les 2 derniers chiffres divisibles par 4.

✅

Simplifier une fraction avec le PGCD : 36/48 → PGCD(36,48)=12 → 36/12=3, 48/12=4 → fraction simplifiée = 3/4.

💡

Trouver le PPCM facilement : si PGCD(a,b)=1 (premiers entre eux), alors PPCM = a×b. Ex : PPCM(7,9) = 63 car PGCD(7,9)=1.