Vecteurs du plan — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

I. مفهوم المتجهة

تُعرف المتجهة بما يلي:

اتجاه (المستقيم الذي يحملها)،
منحى (التوجيه على هذا المستقيم)،
معيار (طول، يُرمز إليه بـ $∥ u ∥$ ).

المتجهة $A B$ هي المتجهة التي نقطة انطلاقها هي A ونقطة وصولها هي B. معيارها هو $∥ A B ∥ = A B$ (المسافة).

المتجهة المنعدمة، يُرمز إليها بـ $0$ ، هي المتجهة $AA$ لأي نقطة A. معيارها هو 0.

II. تساوي المتجهات — الإزاحة

تكون المتجهتان $A B$ و $C D$ متساويتين ( $A B = C D$ ) إذا كان لهما نفس الاتجاه ونفس المنحى ونفس المعيار.

هندسياً: $A B = C D \Leftrightarrow$ ABDC متوازي أضلاع (أو A = C و B = D).

يوجد عدد لا نهائي من ممثلي نفس المتجهة (واحد لكل نقطة انطلاق). جميع المتجهات المتساوية تشكل نفس المتجهة "الحرة".

الإزاحة ذات المتجهة $u$ هي التحويل الذي يربط كل نقطة M بالنقطة M' بحيث $M M^{'} = u$ .

III. جمع المتجهات

مجموع متجهتين $u = A B$ و $v = B C$ هو المتجهة:

$u + v = A B + B C = A C$ (علاقة شال)

علاقة شال: لأي ثلاث نقط A, B, C:

$A B + B C = A C$

النتائج: $A B + B A = 0$ ؛ $A C = A B + B C = A B - C B$ .

لأي نقطة O: $O B - O A = A B$ .

خصائص الجمع:

التبادلية: $u + v = v + u$ .
التجميعية: $(u + v) + w = u + (v + w)$ .
العنصر المحايد: $u + 0 = u$ .
المقابل: $u + (- u) = 0$ ، حيث $- A B = B A$ .

IV. الضرب في عدد حقيقي (سلمي)

لتكن $u$ متجهة و k عدداً حقيقياً. تُعرف المتجهة $k \cdot u$ بما يلي:

$∥ k \cdot u ∥ = ∣ k ∣ \cdot ∥ u ∥$ (المعيار مضروب في |k|)،
نفس اتجاه $u$ ،
نفس المنحى إذا كان k > 0، ومنحى معاكس إذا كان k < 0.
إذا كان k = 0 أو $u = 0$ ، فإن $k \cdot u = 0$ .

الاستقامية: تكون متجهتان $u$ و $v$ (غير منعدمتين) مستقيميتين إذا وفقط إذا وجد عدد حقيقي k بحيث $v = k \cdot u$ .

$\Leftrightarrow$ لهما نفس الاتجاه (أو اتجاهين متعاكسين).

تطبيق: A, B, C نقط مستقيمية $\Leftrightarrow$ المتجهتان $A B$ و $A C$ مستقيميتان.

V. إحداثيات متجهة

في معلم (O ; $i$ , $j$ )، تكتب كل متجهة $u$ بطريقة وحيدة:

$u = x \cdot i + y \cdot j$

نرمز لـ $u (x, y)$ أو $u = (x, y)$ . العددان الحقيقيان x و y هما إحداثيتا $u$ .

إذا كانت $A (x_{A}, y_{A})$ و $B (x_{B}, y_{B})$ ، فإن:

$A B = (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A})$

حسابات بالإحداثيات: إذا كانت $u (x, y)$ و $v (x^{'}, y^{'})$ :

$u + v = (x + x^{'}, y + y^{'})$
$k \cdot u = (k x, k y)$
$∥ u ∥ = x^{2} + y^{2}$
$u = v \Leftrightarrow x = x^{'}$ و $y = y^{'}$
$u$ و $v$ مستقيميتان $\Leftrightarrow x y^{'} - y x^{'} = 0$ (المحدد منعدم)

VI. منتصف قطعة

منتصف I للقطعة [AB] يحقق $I A + I B = 0$ . إحداثياته هي:

$x_{I} = \frac{x _{A} + x _{B}}{2}, y_{I} = \frac{y _{A} + y _{B}}{2}$

📈 Figure clé

Vecteurs du plan

🔑 Formules clés à retenir

علاقة Chasles : $A B + B C = A C$
$O B - O A = A B$
$A B = (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A})$
$∥ u ∥ = x^{2} + y^{2}$
متجهتان مستقيميتان ⇔ $x y^{'} - y x^{'} = 0$
منتصف I للقطعة [AB] : $(x_{I}, y_{I}) = (\frac{x _{A} + x _{B}}{2}, \frac{y _{A} + y _{B}}{2})$
$k \cdot u = (k x, k y)$ ; $∥ k \cdot u ∥ = ∣ k ∣ \cdot ∥ u ∥$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 أخطاء شائعة

❌

عكس ترتيب طرح الإحداثيات — $A B = (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A})$ . هو B ناقص A، وليس A ناقص B.

❌

الخلط بين المتجهة المنعدمة ونقطة الأصل — المتجهة المنعدمة $0$ إحداثياتها (0, 0) لكنها ليست نقطة، إنها متجهة بدون اتجاه.

❌

نسيان أن $A B \neq = B A$ — هاتان المتجهتان متعاكستان: $B A = - A B$ . لهما نفس الاتجاه، لكن لهما منحيان متعاكسان.

🟢 نصائح احترافية

✅

اختبار متوازي الأضلاع ABCD: يكون ABCD متوازي أضلاع إذا وفقط إذا كان $A B = D C$ (وليس $C D$ !). انتبه لترتيب الحروف.

💡

بالنسبة لعلاقة Chasles، فكر في مسار: $A B + B C = A C$ . الحرف B "يُختزل": ننطلق من A، نمر عبر B، ونصل إلى C.

Vecteurs du plan — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

Exercices interactifs

68 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 68 corrigés

Exercices Faciles

23 exercices

إحداثيات متجهة

Facile

Énoncé

في معلم، لتكن النقط A(2, 1) و B(5, 4) و C(−1, 3).

أحسب إحداثيات المتجهتين $A B$ و $A C$ .
أحسب $∥ A B ∥$ .

Ma réponse

Vecteurs du plan

Vecteurs du plan — Résumé de cours

Cours complet

Contenu du cours

I. مفهوم المتجهة

II. تساوي المتجهات — الإزاحة

III. جمع المتجهات

IV. الضرب في عدد حقيقي (سلمي)

V. إحداثيات متجهة

VI. منتصف قطعة

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

🔴 أخطاء شائعة

🟢 نصائح احترافية

Méthodes types

Méthodes types — Vecteurs du plan

Type 1 : Montrer que deux vecteurs sont égaux

Type 2 : Construire la somme de deux vecteurs

Type 3 : Utiliser la relation de Chasles

Type 4 : Lire les coordonnées d'un vecteur

Type 5 : Additionner des vecteurs avec leurs coordonnées

Vecteurs du plan — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

إحداثيات متجهة

المتجهات والمنتصف - علاقة متجهة

علاقة شال

الجمع في المعلم

منتصف قطعة

Construire des images par translation

Placer des points avec des vecteurs égaux

Compléter des sommes de vecteurs

إزاحة المتجهات

مقارنة المتجهات

حساب معيار متجهة

تساوي متجهتين

إزاحة متجهة

التمثيل الهندسي

التحقق من تساوي متجهتين

تعريف المتجهة

المسافة بين نقطتين

تحديد إحداثيات نقطة

مجموع المتجهات

حساب معيار متجهة

تقديم المتجهات

معيار متجهة منعدمة

تساوي متجهتين

Exercices Intermédiaires

متجهة متوسط مثلث

المتجهة المنعدمة و خاصياتها

استقامية ومتجهات

متوازي الأضلاع

المتجهات ومرجح نقطتين

التحويلات الاعتيادية والدوال

Multiple d'un vecteur et droites parallèles

Milieu et somme de vecteurs

Translation dans un losange

Vecteur égal et parallélogramme

Égalité de vecteurs dans un parallélogramme

Simplifier avec la relation de Chasles

Construire des multiples de vecteurs

جمع المتجهات

مسألة مسافات

خاصية مجموع المتجهات

إحداثيات متجهة منعدمة

مسألة إزاحة

تحديد متجهة من نقطتين

برهان علاقة شال

خاصية المتجهات المتساوية

إزاحة المتجهات

مسألة إزاحة

جمع المتجهات

جمع المتجهات

Exercices Difficiles

تحليل متجهة

المتجهات والشكل الهندسي

المتجهات – نقطة المنتصف و المرجح

تطبيق على البرهان الهندسي

المتجهة المنعدمة و خاصياتها