بسّط (أي احسب القيمة الدقيقة لـ) كل من التعابير التالية:

$A=\sin \frac{\pi }{13}+\sin \frac{3\pi }{13}+\sin \frac{14\pi }{13}+\sin \frac{16\pi }{13}$

$D=\cos \frac{\pi }{3}-\cos \frac{2\pi }{3}-\cos \frac{4\pi }{3}+\cos \frac{5\pi }{3}$

$C={\sin }^2\frac{\pi }{11}+{\sin }^2\frac{3\pi }{11}+{\sin }^2\frac{17\pi }{22}+{\sin }^2\frac{9\pi }{22}$

1. معطى $\cos \frac{\pi }{5}=\frac{1+\sqrt{5}}{4}$.

   a) احسب القيمة الدقيقة لـ $\sin \frac{\pi }{5}$.

   b) استنتج $\cos \frac{4\pi }{5}$ و $\sin \frac{4\pi }{5}$.

2. معطى $\cos \frac{\pi }{12}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$.

   a) احسب القيمة الدقيقة لـ $\sin \frac{\pi }{12}$.

   b) استنتج $\cos \frac{11\pi }{12}$ و $\sin \frac{11\pi }{12}$.

لأجل $x\in [0,\pi ]$، نضع $A(x)=\frac{1}{{\sin }^{2}x+2{\cos }^{2}x}$.

1. احسب $A(0)$، $A\left(\frac{\pi }{4}\right)$ و $A\left(\frac{\pi }{6}\right)$.

2. تحقق من أن $A(\pi -x)=A(x)$، واستنتج $A\left(\frac{5\pi }{6}\right)$، $A\left(\frac{3\pi }{4}\right)$ و $A(\pi )$.

3. لأجل $x\ne \frac{\pi }{2}$، بيّن أن $A(x)=\frac{1+{\tan }^{2}x}{2+{\tan }^{2}x}$.

نص التمرين

حل في $\mathbb{R}$ المعادلات التالية:

1. $(E_1):\cos (2x)=\sin x$.

2. $(E_2):{\cos }^4(3x)+{\sin }^4(3x)=1$.

3. $(E_3):3{\tan }^{2}x=1$.

نص التمرين

لكل عدد حقيقي $x$، نضع $f(x)=2{\sin }^{2}x-\sin x-1$.

1. احسب $f\left(\frac{2023\pi }{3}\right)$.

2. بيّن أن $f(\pi -x)=f(x)$ لكل عدد حقيقي $x$.

3. تحقق من أن $f(x)=(2\sin x+1)(\sin x-1)$، ثم حل في $[0;2\pi [$ المعادلة $f(x)=0$.

نص التمرين

لكل عدد حقيقي $x$، نضع $A(x)=\cos x\sin x$.

1. احسب $A\left(\frac{19\pi }{3}\right)$.

2. بيّن أن $A(\pi +x)=A(x)$ و $A\left(\frac{\pi }{2}-x\right)=A(x)$.

3. حل في $]-\pi ;\pi ]$ المعادلة $A(x)=\frac{\sqrt{3}}{4}$.

المعطيات

ليكن $ABC$ مثلثاً بحيث $AB=5\text{cm}$ و $\hat{A}=\frac{\pi }{4}$ و $\hat{B}=\frac{\pi }{6}$.

1. احسب $BC$ و $AC$.

2. احسب مساحة المثلث.

3. حدد نصف القطر $R$ للدائرة المحيطة بالمثلث $ABC$.

نص التمرين

لكل عدد حقيقي $x$، نضع $A(x)=\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)+\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)+\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)+\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)$.

1. أثبت أن $A(x)=2\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)$.

2. حل في $\mathbb{R}$ المعادلة $A(x)=\sqrt{2}$.

نص التمرين

ليكن $ABC$ مثلثاً بحيث $AB=4$ و $\widehat{BAC}=\frac{\pi }{3}$ و $\widehat{ABC}=\frac{\pi }{4}$. نضع $AC=b$ و $BC=a$.

1. بيّن أن $b=\frac{a\sqrt{6}}{3}$.

2. بيّن أن $a^2+4\sqrt{6}a-48=0$، ثم احسب $a$.

3. احسب نصف القطر $R$ للدائرة المحيطة بالمثلث $ABC$.

نص التمرين

نعتبر القيمتين $\cos \frac{\pi }{12}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ و $\sin \frac{\pi }{12}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.

1. تحقق من أن ${\cos }^2\frac{\pi }{12}+{\sin }^2\frac{\pi }{12}=1$.

2. استنتج $\tan \frac{\pi }{12}$ في صورة مبسطة.

3. احسب $\cos \frac{5\pi }{12}$ و $\sin \frac{5\pi }{12}$ و $\tan \frac{5\pi }{12}$.

نص التمرين

من أجل $x\in I=\left[0;\frac{\pi }{2}\right[$، نضع $C(x)=[\cos (\pi -x)\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right){]}^2-[\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)\sin (\pi -x){]}^2$.

1. بين أن $C(x)={\cos }^{4}x-{\sin }^{4}x$.

2. استنتج أن $C(x)=2{\cos }^{2}x-1$.

3. حل في $I$ المعادلة $C(x)=0$.

احسب tan($\pi$/4 + $\pi$/6).

حل المعادلة sin(x) = $\frac{1}{2}$ من أجل 0 $\le$ x < 2$\pi$.

مبنى ارتفاعه $10$ م يُلقي ظلاً طوله $5$ م. احسب زاوية ارتفاع الشمس.

حل المعادلة التالية من أجل 0 $\le$ x < 2$\pi$ : 2si$n^2$x - 1 = 0.

يريد مهندس معماري بناء منحدر بزاوية ميلان قياسها 30${}^{\circ }$. ما هو ارتفاع المنحدر إذا كان طوله 8 أمتار؟

بين أن $\cos (2x)=1-2{\sin }^{2}x$.

يبلغ ارتفاع مبنى في الدار البيضاء $50$ متراً. إذا كنا على بعد $20$ متراً من قاعدة المبنى، ما هي زاوية الارتفاع؟ (قرّب إلى منزلتين عشريتين).

حل المعادلة التالية على المجال $[0,2\pi ]$: $\sin (x)-\frac{\sqrt{3}}{2}=0$.

احسب cos(5$\pi$/6) باستخدام خاصيات الزوايا المرتبطة.

احسب $\cos (2\pi /3)$ باستخدام صيغة تضاعف الزاوية.

حول التعابير التالية إلى مجموع أو فرق:

1. $\cos (3x)-\cos (x)$ باستعمال الصيغة: $\cos p-\cos q=-2\sin \left(\frac{p+q}{2}\right)\sin \left(\frac{p-q}{2}\right)$
2. $\sin (5x)+\sin (x)$ باستعمال الصيغة: $\sin p+\sin q=2\sin \left(\frac{p+q}{2}\right)\cos \left(\frac{p-q}{2}\right)$
3. $2\cos (3x)\cos (x)$ باستعمال: $2\cos (a)\cos (b)=\cos (a-b)+\cos (a+b)$

حل في المجال $[0;2\pi ]$ المتراجحات التالية:

1. $\sin (x)\ge \frac{1}{2}$
2. $\cos (x)<-\frac{\sqrt{2}}{2}$

اكتب التعابير التالية على الشكل $a\cdot \cos (x+\phi )$ حيث $a>0$ و $\phi \in [-\pi ;\pi ]$ :

1. $f(x)=\cos (x)-\sqrt{3}\sin (x)$
2. $g(x)=\sqrt{2}\cos (x)+\sqrt{2}\sin (x)$

الطريقة : $a\cdot \cos (x+\phi )=a\cdot \cos (\phi )\cdot \cos (x)-a\cdot \sin (\phi )\cdot \sin (x)$. حدد $a\cdot \cos (\phi )$ و $a\cdot \sin (\phi )$.

حل في $[0,2\pi [$:

1. $2{\cos }^{2}x-3\cos x+1=0$
2. $\sin (2x)=\sin (x+\frac{\pi }{6})$

1) عبر عن $\cos (3\alpha )$ بدلالة $\cos (\alpha )$.

2) بين أن $\sin (\pi /8)=\sqrt{(2-\sqrt{2})/2}$

3) حل المعادلة: $\cos (x)=\sin (x)$ حيث $x\in [0,2\pi [$

4) مثلث ABC فيه $AB=5$ و $AC=7$ و $\angle BAC=60^{\circ }$. احسب $BC$ (باستخدام مبرهنة الكاشي).