نعتبر النقط A(0, 0) و B(4, 0) و C(1, 3).

1. احسب الجداء السلمي $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$.
2. أوجد إحداثيات H مسقط النقطة C على المستقيم (AB) (النقطة H تنتمي إلى [AB] بحيث $\overrightarrow{CH}\perp \overrightarrow{AB}$).

تذكير: إذا كانت $\vec{u}(a;b)$ و $\vec{v}(c;d)$ متجهتين، فإن $\vec{u}(a;b)\cdot \vec{v}(c;d)=ac+bd$.

نعتبر النقطتين A(2, 1) و B(6, 5). لتكن C(x ; y) نقطة اختيارية من المستوى.

1. اكتب الشرط (بدلالة x و y) لكي تكون النقط A و B و C مستقيمية.
2. حدد العدد k بحيث تكون النقطة D(3, k) مستقيمية مع A و B.
3. أوجد المعادلة الديكارتية للمستقيم (AB).

عبر عن المتجهة $\overrightarrow{GH}$ بدلالة $\overrightarrow{GA}$ و $\overrightarrow{GB}$، علما أن G هي مركز ثقل المثلث ABH حيث H تحقق $\overrightarrow{GH}=-\frac{\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}}{2}$... في الواقع: ليكن G منتصف [AB]. عبر عن $\overrightarrow{OG}$ بدلالة $\overrightarrow{OA}$ و $\overrightarrow{OB}$.

A(1,2), B(3,5), C(0,−1), D(4,k). أوجد k لكي يكون AB∥CD.

A(−1,3), B(2,−1), C(5,3). 1) أحسب $\Vert A{B}^{\to }\Vert$, $\Vert B{C}^{\to }\Vert$, $\Vert A{C}^{\to }\Vert$. 2) هل المثلث متساوي الساقين؟ هل هو قائم الزاوية؟

$ABCD$ متوازي أضلاع في المستوى. ننشئ النقطتين $E$ و $F$ بحيث:

$\overrightarrow{AE}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}\text{و}\overrightarrow{DF}=-2\overrightarrow{DA}$

1. بين أن $\overrightarrow{CE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}$ وأن $\overrightarrow{FE}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{AD}$.

2. استنتج أن النقط $E$ و $F$ و $C$ مستقيمية.

$ABC$ مثلث في المستوى. ننشئ النقطتين $E$ و $F$ بحيث:

$\overrightarrow{AE}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}\text{و}\overrightarrow{AF}=\frac{4}{3}\overrightarrow{AC}$

1. بين أن $\overrightarrow{EC}=-\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ وأن $\overrightarrow{BF}=-\overrightarrow{AB}+\frac{4}{3}\overrightarrow{AC}$.

2. استنتج أن المستقيمين $(EC)$ و $(BF)$ متوازيان.

$ABCD$ متوازي أضلاع. $M$ و $E$ و $F$ نقط من المستوى بحيث:

$\overrightarrow{CM}=\frac{1}{4}\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CD},\overrightarrow{CF}=\frac{2}{3}\overrightarrow{CD}$

1. بين أن $\overrightarrow{BM}=\frac{1}{4}\overrightarrow{CD}-\frac{3}{4}\overrightarrow{CB}$ وأن $\overrightarrow{BE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CB}$.

2. استنتج أن النقط $M$ و $E$ و $B$ مستقيمية.

3. بين أن $E$ هي منتصف القطعة $[CF]$.

تنطلق باخرة من مراكش (J$(3,4)$) وتتجه نحو الصويرة (K$(6,10)$) متبعة مسارًا محددًا بمتجهة. بعد قطع مسافة $5$ وحدات في اتجاه هذه المتجهة، يجب على الباخرة التوقف عند نقطة P. احسب إحداثيات P وأظهر أن المتجهة JK مستقيمية مع المتجهة JP.

بين أن المتجهتين u = (2, 4) و v = (1, 2) مستقيميتان باستخدام تعريف الاستقامية.

بين أن المتجهات u(3, 2) و v(1.5, 1) و w(0, 0) مستقيمية.

تتحرك النقطة A وفق المتجهة u(5, -3). إذا كانت A(2, 4)، فما هو الموضع الجديد للنقطة A؟

اكتب معادلة المتجه AB حيث $A(1,2)$ و $B(4,5)$ وتحقق مما إذا كانت النقطة $C(2,3)$ تقع على هذا المتجه.

ينتقل صديقان، أحمد ويوسف، في مدينة. ينطلق أحمد من النقطة A(0, 0) ويتجه نحو النقطة B(3, 4). ينطلق يوسف من النقطة C(3, 4) ويتجه نحو النقطة D(6, 8). بين أن مسار أحمد ومسار يوسف مستقيميان.

ليكن المتجهتان u = (k ; 2k) و v = (3 ; 6). بين أن هاتين المتجهتين مستقيميتان مهما يكن العدد الحقيقي k.

ليكن المتجهان u$\to$ = (x ; y) و v$\to$ = (2 ; 3). إذا كان u$\to$ + v$\to$ = (5 ; 8)، فأوجد x و y.

ليكن المتجهان $\vec{u}=(2;-1)$ و $\vec{v}=(k;3)$. إذا كان $\vec{u}$ عموديا على $\vec{v}$، أوجد قيمة $k$.

في المستوى، تمثل مدينتا الرباط والدار البيضاء على التوالي بالنقطتين A(2, 3) و B(8, 7). تنطلق سيارة أجرة من الرباط نحو الدار البيضاء، ثم تتوقف في مدينة وسيطة C، بحيث تكون المتجهة AC بـ 3 وحدات نحو اليمين و 2 وحدات نحو الأعلى. أوجد إحداثيات النقطة C. ثم بين أن المتجهتين AB و AC مستقيميتان.

في مشروع بناء طريق، تمثل النقطتان $D(1,1)$ و $E(4,5)$ طرفي الطريق. يرغب مهندس في وضع نقطة $F$ التي هي منتصف الطريق $DE$. بعد ذلك، يريد التحقق مما إذا كان المتجه $\overrightarrow{DF}$ عموديًا على المتجه $\overrightarrow{DE}$. أظهر الحسابات اللازمة.

يجب على مهندس موازنة ثلاث قوى تمثل متجهات في المستوى. تمثل القوى بالنقاط G(1, 2) و H(4, 6) و I(7, 3). بين أن مجموع المتجهين GH و HI يساوي المتجه GI. ثم حدد ما إذا كانت القوى في حالة توازن.

المدينتان A(1, 2) و B(4, 6) ممثلتان بنقطتين في معلم. احسب المسافة بين هاتين المدينتين.