نص التمرين برهن أنه من أجل كل عدد طبيعي n ، العددان 2 n + 3 و 5 n + 7 أوليان فيما بينهما. بين أنه ( ∀ n ∈ N ∗ ) : n ∧ ( 2 n + 1 ) = 1 ، ثم استنتج أنه ( ∀ n ∈ N ∗ ) : n 2 ∧ ( 2 n + 1 ) = 1 .

Nombres premiers entre eux (Bézout)

Intermédiaire

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نص التمرين

برهن أنه من أجل كل عدد طبيعي $n$ ، العددان $2 n + 3$ و $5 n + 7$ أوليان فيما بينهما.
بين أنه $(\forall n \in N^{*}) : n \land (2 n + 1) = 1$ ، ثم استنتج أنه $(\forall n \in N^{*}) : n^{2} \land (2 n + 1) = 1$ .

إرشادات

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1 الإرشاد 1

Pour montrer que deux nombres sont premiers entre eux, pense au théorème de Bézout : cherche une combinaison linéaire $a(2n+3) + b(5n+7) = 1$ avec des coefficients entiers $a$ et $b$.

2 الإرشاد 2

Développe $5(2n+3) - 2(5n+7)$ et observe ce que tu obtiens. Pour la deuxième partie, écris $(2n+1) - 2n$ et utilise la même méthode.

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Pour montrer que deux nombres sont premiers entre eux, pense au théorème de Bézout : cherche une combinaison linéaire $a (2 n + 3) + b (5 n + 7) = 1$ avec des coefficients entiers $a$ et $b$ .

Développe $5 (2 n + 3) - 2 (5 n + 7)$ et observe ce que tu obtiens. Pour la deuxième partie, écris $(2 n + 1) - 2 n$ et utilise la même méthode.

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