نص التمرين بيّن أنه ( ∀ n ∈ N ∗ ) : n ∧ ( 2 n + 1 ) = 1 ، ثم أنه ( ∀ n ∈ N ∗ ) : n 2 ∧ ( 2 n + 1 ) = 1 . ليكن n , d ∈ N ∗ بحيث d ∣ 2 n + 1 . استنتج أن n 2 ∧ d = 1 .

Premiers entre eux : n et 2n+1

Intermédiaire

Énoncé

نص التمرين

بيّن أنه $(\forall n \in N^{*}) : n \land (2 n + 1) = 1$ ، ثم أنه $(\forall n \in N^{*}) : n^{2} \land (2 n + 1) = 1$ .
ليكن $n, d \in N^{*}$ بحيث $d ∣ 2 n + 1$ . استنتج أن $n^{2} \land d = 1$ .

إرشادات

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1 الإرشاد 1

Pour montrer que $n \wedge (2n+1) = 1$, cherche une relation de Bézout : essaie d'écrire $1$ comme combinaison linéaire de $n$ et $2n+1$. Que vaut $(2n+1) - 2 \times n$ ?

2 الإرشاد 2

Pour $n^2 \wedge (2n+1)$, pose $d = n^2 \wedge (2n+1)$. Si $d$ divise $n^2$, alors $d$ divise aussi $2n^2$. Mais $d$ divise également $n(2n+1)$. Que peux-tu déduire par différence ?

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Pour montrer que $n \land (2 n + 1) = 1$ , cherche une relation de Bézout : essaie d'écrire $1$ comme combinaison linéaire de $n$ et $2 n + 1$ . Que vaut $(2 n + 1) - 2 \times n$ ?

Pour $n^{2} \land (2 n + 1)$ , pose $d = n^{2} \land (2 n + 1)$ . Si $d$ divise $n^{2}$ , alors $d$ divise aussi $2 n^{2}$ . Mais $d$ divise également $n (2 n + 1)$ . Que peux-tu déduire par différence ?

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