أثبت بالتراجع أن: ( ∀ n ∈ N ∗ ) : 7 n − 2 n قابل للقسمة على 5 . ( ∀ n ∈ N ) : 1 + 4 + 4 2 + ⋯ + 4 n = 3 4 n + 1 − 1 . ( ∀ n ∈ N ∗ ) : 1 + 2 3 + 3 3 + … + n 3 = [ 2 n ( n + 1 ) ] 2 . ( ∀ n ∈ N ) : 2 n ≥ n .

Démonstrations par récurrence

Difficile

Énoncé

أثبت بالتراجع أن:

$(\forall n \in N^{*}) : 7^{n} - 2^{n}$ قابل للقسمة على $5$ .
$(\forall n \in N) : 1 + 4 + 4^{2} + \dots + 4^{n} = \frac{4 ^{n + 1} - 1}{3}$ .
$(\forall n \in N^{*}) : 1 + 2^{3} + 3^{3} + \dots + n^{3} = [\frac{n ( n + 1 )}{2}]^{2}$ .
$(\forall n \in N) : 2^{n} \geq n$ .

إرشادات

— انقر للكشف

1 الإرشاد 1

من أجل كل سؤال، طبق المخطط الكلاسيكي: تحقق من الابتداء عند الرتبة الأولى، ثم افترض صحة الخاصية عند الرتبة $n$ (فرضية التراجع) قبل إثباتها عند الرتبة $n+1$.

2 الإرشاد 2

من أجل 1) و 2)، حاول التعبير عن الحد عند الرتبة $n+1$ بإظهار فرضية التراجع عبر معالجة جبرية (تفكيك أو توحيد المقام).

3 الإرشاد 3

من أجل 3)، طور $\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2 + (n+1)^3$ وفكك لاستعادة الشكل المنتظر عند الرتبة $n+1$؛ من أجل 4)، أطر $2n$ بـ $n+1$ باستعمال $n\geq 1$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Demander à Prof Hicham

الطريقة — من أين نبدأ

من أجل 1) و 2)، حاول التعبير عن الحد عند الرتبة $n + 1$ بإظهار فرضية التراجع عبر معالجة جبرية (تفكيك أو توحيد المقام).

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

تمارين على نفس المفهوم

Exercice Terminé? 🎉

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points

Somme des premiers entiers (récurrence) كل تمارين الدرس Somme des carrés (récurrence)

Démonstrations par récurrence

Énoncé

إرشادات

الطريقة — من أين نبدأ

Correction détaillée

افتح التصحيح الكامل

Exercice Terminé? 🎉

Démonstrations par récurrence

Énoncé

إرشادات

الطريقة — من أين نبدأ

Correction détaillée

افتح التصحيح الكامل

Exercice Terminé? 🎉

Valider votre réponse

لقد شاهدت 5 تمارين اليوم 🎯