Plan, sphère et cercle d'intersection

الفضاء منسوب إلى معلم متعامد ومتجانس مباشر $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$. نعتبر النقط $A(0;-1;1)$، $B(-1;1;3)$، $C(0;1;5)$ ومجموعة $(S)$ من النقط $M(x;y;z)$ بحيث:

$x^2+y^2+z^2-2x+2y+12z+22=0$

1. a) بين أن $\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}=4\vec{i}+4\vec{j}-2\vec{k}$ واستنتج أن النقط $A$، $B$، $C$ غير مستقيمية.
2. b) بين أن $2x+2y-z+3=0$ معادلة ديكارتية للمستوى $(ABC)$.
3. a) بين أن $(S)$ كرة مركزها $\Omega (1;-1;-6)$ ونصف قطرها $R=4$.
4. b) احسب $d(\Omega ;(ABC))$ واستنتج أن $(ABC)$ يقطع $(S)$ وفق دائرة نصف قطرها $r=\sqrt{7}$.
5. a) حدد تمثيلا وسيطيا للمستقيم $(D)$ المار من $\Omega$ والعمودي على $(ABC)$.
6. b) حدد إحداثيات مركز $H$ لدائرة التقاطع.