Plan tangent et cercle circonscrit

Difficile
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Énoncé

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère les points , , et la sphère d'équation :

  1. a) Montrer que est de centre et de rayon .
  2. b) Vérifier que , puis écrire une équation cartésienne du plan tangent à en .
  3. a) Montrer que et en déduire que est une équation du plan .
  4. b) Montrer que et sont orthogonaux.
  5. c) Montrer que coupe suivant un cercle dont on déterminera le centre et le rayon.
  6. Montrer que est le cercle circonscrit au triangle .

Indices

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1 Indice 1
Pour 1a), mettez l'équation de $(S)$ sous forme canonique en complétant le carré pour chaque variable $x$, $y$, $z$.
2 Indice 2
Pour 1b), le vecteur normal au plan tangent en un point $A$ d'une sphère de centre $\Omega$ est le vecteur $\overrightarrow{\Omega A}$ ; utilisez-le pour écrire l'équation du plan.
3 Indice 3
Pour 2a), calculez le produit vectoriel $\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}$ composante par composante avec la règle des déterminants $2\times 2$. Pour 2b), deux plans sont orthogonaux si le produit scalaire de leurs vecteurs normaux est nul. Pour 2c), calculez la distance de $\Omega$ au plan $(ABC)$ avec la formule $d=\dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$, puis reliez rayon du cercle, rayon de la sphère et cette distance par le théorème de Pythagore.

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La méthode — par où commencer

Pour 1a), mettez l'équation de sous forme canonique en complétant le carré pour chaque variable , , .

Pour 1b), le vecteur normal au plan tangent en un point d'une sphère de centre est le vecteur ; utilisez-le pour écrire l'équation du plan.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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