On considère les points A ( 1 ; 2 ; 1 ) , B ( 1 ; 3 ; 1 ) , C ( 1 ; 0 ; 1 ) et la sphère ( S ) de centre Ω ( − 3 ; 0 ; 1 ) et de rayon 2 2 . Montrer que O A ∧ O B = − i + k , puis en déduire que x − z = 0 est une équation cartésienne du plan ( O A B ) . a) Montrer que le plan ( O A B ) est tangent à ( S ) en un point H . b) Déterminer les coordonnées du point de contact H . Soit ( Δ ) la droite passant par C et de vecteur directeur u ( 2 ; 0 ; − 2 ) . a) Déterminer une représentation paramétrique de ( Δ ) . b) Déterminer une équation cartésienne de ( S ) . c) Montrer que ( Δ ) est tangente à ( S ) et déterminer les coordonnées du point de contact.

Plan et droite tangents à une sphère

Difficile

Énoncé

On considère les points $A (1; 2; 1)$ , $B (1; 3; 1)$ , $C (1; 0; 1)$ et la sphère $(S)$ de centre $Ω (- 3; 0; 1)$ et de rayon $22$ .

Montrer que $O A \land O B = - i + k$ , puis en déduire que $x - z = 0$ est une équation cartésienne du plan $(O A B)$ .
a) Montrer que le plan $(O A B)$ est tangent à $(S)$ en un point $H$ .
b) Déterminer les coordonnées du point de contact $H$ .
Soit $(Δ)$ la droite passant par $C$ et de vecteur directeur $u (2; 0; - 2)$ .
a) Déterminer une représentation paramétrique de $(Δ)$ .
b) Déterminer une équation cartésienne de $(S)$ .
c) Montrer que $(Δ)$ est tangente à $(S)$ et déterminer les coordonnées du point de contact.

Indices

— clique pour révéler

1 Indice 1

Le produit vectoriel $\overrightarrow{OA}\wedge\overrightarrow{OB}$ te donne un vecteur normal au plan $(OAB)$ ; utilise-le pour écrire l'équation cartésienne du plan sachant qu'il passe par $O$.

2 Indice 2

Pour montrer la tangence, calcule la distance du centre $\Omega$ au plan $(OAB)$ avec la formule $d=\dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$ et compare-la au rayon.

3 Indice 3

Le point de contact $H$ est le projeté orthogonal de $\Omega$ sur le plan : utilise une droite passant par $\Omega$ de direction normale au plan et cherche son intersection avec le plan.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Demander à Prof Hicham

La méthode — par où commencer

Le produit vectoriel $O A \land O B$ te donne un vecteur normal au plan $(O A B)$ ; utilise-le pour écrire l'équation cartésienne du plan sachant qu'il passe par $O$ .

Pour montrer la tangence, calcule la distance du centre $Ω$ au plan $(O A B)$ avec la formule $d = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c z _{0} + d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}$ et compare-la au rayon.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

Continue sur la même notion

Exercice Terminé? 🎉

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points

Plan tangent et cercle circonscrit Tous les exercices du chapitre Sphère de diamètre [AB] et positions relatives

Plan et droite tangents à une sphère

Énoncé

Indices

La méthode — par où commencer

Correction détaillée

Débloque le corrigé complet

Exercice Terminé? 🎉

Plan et droite tangents à une sphère

Énoncé

Indices

La méthode — par où commencer

Correction détaillée

Débloque le corrigé complet

Exercice Terminé? 🎉

Valider votre réponse

Tu as vu 5 exercices aujourd'hui 🎯