Sphère de diamètre [AB] et positions relatives

On considère les points $A(3;-2;2)$, $B(-1;6;4)$, $C(5;4;4)$ et la sphère $(S)$ de diamètre $[AB]$.

1. Vérifier que le triangle $ABC$ est rectangle en $C$, puis en déduire que $C$ appartient à $(S)$.
2. Montrer que l'équation de $(S)$ est $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+(z-3{)}^2=21$.
3. Déterminer une équation cartésienne du plan $(P)$ tangent à $(S)$ au point $C$.
4. Soit $(\Delta )$ la droite passant par $D(4;3;2)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(1;0;3)$.
   a) Montrer que $d(\Omega ;(\Delta ))=\sqrt{11}$, où $\Omega$ est le centre de $(S)$.
   b) Déterminer les coordonnées des points d'intersection de $(\Delta )$ et $(S)$.
5. Soit le plan $(Q):x-4y+2z+d=0$. Trouver les valeurs de $d$ pour que $(Q)$ soit tangent à $(S)$.