Plan, sphère et cercle d'intersection

Difficile
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Énoncé

L'espace est rapporté à un repère orthonormé direct . On considère les points , , et l'ensemble des points tels que :

  1. a) Montrer que et en déduire que les points , , ne sont pas alignés.
  2. b) Montrer que est une équation cartésienne du plan .
  3. a) Montrer que est une sphère de centre et de rayon .
  4. b) Calculer et en déduire que coupe suivant un cercle de rayon .
  5. a) Déterminer une représentation paramétrique de la droite passant par et orthogonale à .
  6. b) Déterminer les coordonnées du centre du cercle d'intersection.

Indices

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1 Indice 1
Pour le produit vectoriel $\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}$, calcule d'abord les coordonnées des deux vecteurs, puis utilise les déterminants $2\times 2$ pour chaque composante.
2 Indice 2
Pour l'équation du plan, un vecteur normal proportionnel au produit vectoriel donne les coefficients de $x$, $y$, $z$ ; utilise ensuite un point du plan pour trouver la constante.
3 Indice 3
Pour la sphère, mets l'équation sous forme canonique en complétant le carré pour chaque variable ; pour le cercle d'intersection, utilise $r=\sqrt{R^2-d^2}$ avec $d$ la distance du centre au plan.

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La méthode — par où commencer

Pour le produit vectoriel , calcule d'abord les coordonnées des deux vecteurs, puis utilise les déterminants pour chaque composante.

Pour l'équation du plan, un vecteur normal proportionnel au produit vectoriel donne les coefficients de , , ; utilise ensuite un point du plan pour trouver la constante.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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