لتكن ( u n ) معرفة من أجل n ≥ 1 بـ u n = n sin n + n 2 cos n . بين أنه من أجل كل n ≥ 1 : − n 2 ≤ u n ≤ n 2 . استنتج نهاية ( u n ) بواسطة مبرهنة الحصر.

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Intermédiaire

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لتكن $(u_{n})$ معرفة من أجل $n \geq 1$ بـ $u_{n} = \frac{sin n}{n} + \frac{cos n}{n ^{2}}$ .

بين أنه من أجل كل $n \geq 1$ : $- \frac{2}{n} \leq u_{n} \leq \frac{2}{n}$ .
استنتج نهاية $(u_{n})$ بواسطة مبرهنة الحصر.

إرشادات

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1 الإرشاد 1

Commence par utiliser l'inégalité triangulaire : $|u_n| \leq \left|\dfrac{\sin n}{n}\right| + \left|\dfrac{\cos n}{n^2}\right|$. Puis rappelle-toi que le sinus et le cosinus sont toujours bornés.

2 الإرشاد 2

Majore chaque terme séparément en utilisant $|\sin n| \leq 1$ et $|\cos n| \leq 1$. Ensuite compare $\dfrac{1}{n^2}$ et $\dfrac{1}{n}$ pour regrouper intelligemment.

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Commence par utiliser l'inégalité triangulaire : $∣ u_{n} ∣ \leq \frac{sin n}{n} + \frac{cos n}{n ^{2}}$ . Puis rappelle-toi que le sinus et le cosinus sont toujours bornés.

Majore chaque terme séparément en utilisant $∣ sin n ∣ \leq 1$ et $∣ cos n ∣ \leq 1$ . Ensuite compare $\frac{1}{n ^{2}}$ et $\frac{1}{n}$ pour regrouper intelligemment.

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