(Type BAC) On définit la suite ( u n ) par u 0 = 1 et u n + 1 = 2 u n + u n 2 pour tout n ∈ N . Montrer par récurrence que u n > 0 pour tout n ∈ N . Montrer que u n 2 ≥ 2 pour tout n ≥ 1 . (Inégalité arithmético-géométrique) Montrer que ( u n ) est décroissante à partir du rang 1. En déduire que ( u n ) converge et trouver sa limite.

BAC — Suite et fonction : convergence par encadrement

Difficile

Énoncé

(Type BAC) On définit la suite $(u_{n})$ par $u_{0} = 1$ et $u_{n + 1} = \frac{u _{n} + \frac{2}{u _{n}}}{2}$ pour tout $n \in N$ .

Montrer par récurrence que $u_{n} > 0$ pour tout $n \in N$ .
Montrer que $u_{n}^{2} \geq 2$ pour tout $n \geq 1$ . (Inégalité arithmético-géométrique)
Montrer que $(u_{n})$ est décroissante à partir du rang 1.
En déduire que $(u_{n})$ converge et trouver sa limite.

Indices

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1 Indice 1

Pour la question 1, verifie l'initialisation $u_0>0$ puis montre que si $u_n>0$ alors $u_{n+1}$ est une somme de termes positifs divisee par 2.

2 Indice 2

Pour la question 2, applique l'inegalite $a+b\\ge 2\\sqrt{ab}$ aux deux termes $u_n$ et $2/u_n$ pour minorer $u_{n+1}^2$.

3 Indice 3

Pour la decroissance, calcule $u_{n+1}-u_n$ et mets-le sous la forme $\\dfrac{2-u_n^2}{2u_n}$; utilise ensuite le resultat de la question 2. La limite se trouve en passant a la limite dans la relation de recurrence.

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Pour la question 1, verifie l'initialisation $u_{0} > 0$ puis montre que si $u_{n} > 0$ alors $u_{n + 1}$ est une somme de termes positifs divisee par 2.

Pour la question 2, applique l'inegalite $a + b g e 2 s q r t ab$ aux deux termes $u_{n}$ et $2/ u_{n}$ pour minorer $u_{n + 1}^{2}$ .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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