القوى modulo 5 و modulo 10 لتكن n ∈ N ∗ أولية مع 5 . أثبت أنه لكل k ∈ N ، n 4 k ≡ 1 [ 5 ] . لتكن x , y ∈ N ∗ بحيث x ≡ y [ 4 ] . أثبت أنه لكل n ∈ N ∗ ، n x ≡ n y [ 5 ] . استنتج أن n x و n y لهما دائماً نفس رقم الآحاد في الكتابة العشرية.

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القوى modulo 5 و modulo 10

لتكن $n \in N^{*}$ أولية مع $5$ . أثبت أنه لكل $k \in N$ ، $n^{4 k} \equiv 1 [5]$ .
لتكن $x, y \in N^{*}$ بحيث $x \equiv y [4]$ . أثبت أنه لكل $n \in N^{*}$ ، $n^{x} \equiv n^{y} [5]$ .
استنتج أن $n^{x}$ و $n^{y}$ لهما دائماً نفس رقم الآحاد في الكتابة العشرية.

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1 الإرشاد 1

Pour la première question, pense au petit théorème de Fermat : si $p$ est premier et $n \wedge p = 1$, alors $n^{p-1} \equiv 1\ [p]$. Ici $p=5$, donc que vaut $n^4$ modulo $5$ ?

2 الإرشاد 2

Pour montrer que $n^x \equiv n^y\ [5]$, écris $x = y + 4k$ puisque $x \equiv y\ [4]$. Ensuite factorise : $n^x = n^y \cdot n^{4k}$, et applique le résultat de la question 1.

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Pour la première question, pense au petit théorème de Fermat : si $p$ est premier et $n \land p = 1$ , alors $n^{p - 1} \equiv 1 [p]$ . Ici $p = 5$ , donc que vaut $n^{4}$ modulo $5$ ?

Pour montrer que $n^{x} \equiv n^{y} [5]$ , écris $x = y + 4 k$ puisque $x \equiv y [4]$ . Ensuite factorise : $n^{x} = n^{y} \cdot n^{4 k}$ , et applique le résultat de la question 1.

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