Petit théorème de Fermat et équation $x^{143}\equiv 3\ [101]$

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حل تطابق ذو أس مرتفع

نفترض أن .

  1. أثبت أن عدد أولي.
  2. ليكن حلاً في للمعادلة . أثبت أن ، ثم أن وأخيراً أن .
  3. بالعكس، أثبت أن كل عدد صحيح يحقق هو حل للمعادلة ، واستنتج أن مجموعة الحلول هي .

إرشادات

— انقر للكشف
1 الإرشاد 1
Pour montrer que $x \wedge 101 = 1$, demande-toi ce qui se passerait si $101$ divisait $x$ : que vaudrait alors $x^{143}$ modulo $101$ ?
2 الإرشاد 2
Pour passer de $x^{143} \equiv 3 \pmod{101}$ à une expression avec $x$ seul, élève les deux membres à la puissance $7$ et utilise l'égalité $143 \times 7 = 1 + 1000$ combinée au petit théorème de Fermat.

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الطريقة — من أين نبدأ

Pour montrer que , demande-toi ce qui se passerait si divisait : que vaudrait alors modulo ?

Pour passer de à une expression avec seul, élève les deux membres à la puissance et utilise l'égalité combinée au petit théorème de Fermat.

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

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GCD, solution particulière et résolution complète كل تمارين الدرس Ordre multiplicatif et équation $a^{2023}\equiv 27\ [65]$