Équation $143x-195y=52$ et chiffre des unités de $n^x$

نعتبر في ${\mathbb{Z}}^2$ المعادلة $(E):143x-195y=52$.

a) حدد $143\wedge 195$، واستنتج أن $(E)$ تقبل حلولاً في ${\mathbb{Z}}^2$.

b) بمعرفة أن $(-1,-1)$ حل خاص للمعادلة $(E)$، حل $(E)$ في ${\mathbb{Z}}^2$.

لتكن $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ أولية مع $5$. أثبت أن $\forall k\in \mathbb{N},n^{4k}\equiv 1[5]$.

ليكن $x,y\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ بحيث $x\equiv y[4]$.

a) أثبت أنه من أجل كل $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$، $n^x\equiv n^y[5]$.

b) استنتج أنه من أجل كل $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$، $n^x\equiv n^y[10]$.

ليكن $(x,y)$ حلاً للمعادلة $(E)$. أثبت أنه من أجل كل $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$، العددان $n^x$ و $n^y$ لهما نفس رقم الآحاد في الكتابة العشرية.