دراسة a n = 2 n + 3 n + 6 n − 1 لكل n ∈ N ∗ ، نضع a n = 2 n + 3 n + 6 n − 1 . تحقق من أن a n زوجي لكل n ∈ N ∗ ، ثم حدد قيم n بحيث a n ≡ 0 [ 3 ] . ليكن p عددًا أوليًا بحيث p > 3 . أثبت أن 2 p − 1 ≡ 1 [ p ] و 3 p − 1 ≡ 1 [ p ] و 6 p − 1 ≡ 1 [ p ] . أثبت أن p يقسم a p − 2 .

Suite 2ⁿ+3ⁿ+6ⁿ−1 et Fermat

Difficile

لكل $n \in N^{*}$ ، نضع $a_{n} = 2^{n} + 3^{n} + 6^{n} - 1$ .

تحقق من أن $a_{n}$ زوجي لكل $n \in N^{*}$ ، ثم حدد قيم $n$ بحيث $a_{n} \equiv 0 [3]$ .
ليكن $p$ عددًا أوليًا بحيث $p > 3$ .
1. أثبت أن $2^{p - 1} \equiv 1 [p]$ و $3^{p - 1} \equiv 1 [p]$ و $6^{p - 1} \equiv 1 [p]$ .
2. أثبت أن $p$ يقسم $a_{p - 2}$ .

— انقر للكشف

1 الإرشاد 1

بالنسبة للسؤال 1، احسب $a_n$ بترديد $2$ ثم بترديد $3$ على حدة، بدراسة $2^n$ و $3^n$ و $6^n$ في كل حالة.

2 الإرشاد 2

بالنسبة لـ 2.a استعمل مبرهنة فيرما الصغرى: إذا كان $p$ لا يقسم $m$ فإن $m^{p-1}\equiv 1\;[p]$.

3 الإرشاد 3

بالنسبة لـ 2.b اضرب $a_{p-2}$ في $6=2\times 3$ لإظهار $2^{p-1}$ و $3^{p-1}$ و $6^{p-1}$، ثم استعمل مبرهنة گاوس مع $p\wedge 6=1$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

بالنسبة للسؤال 1، احسب $a_{n}$ بترديد $2$ ثم بترديد $3$ على حدة، بدراسة $2^{n}$ و $3^{n}$ و $6^{n}$ في كل حالة.

بالنسبة لـ 2.a استعمل مبرهنة فيرما الصغرى: إذا كان $p$ لا يقسم $m$ فإن $m^{p - 1} \equiv 1 [p]$ .

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

تمارين على نفس المفهوم

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points