معادلة ديوفانتية والقاسم المشترك الأكبر نعتبر، في ( N ∗ ) 2 ، المعادلة: ( E ) x 2 ( x 2 + 7 ) = y ( 2 x + y ) ليكن ( x , y ) ∈ ( N ∗ ) 2 حلاً و δ = x ∧ y . نضع x = δ a و y = δ b ، حيث a ∧ b = 1 . تحقق من أن a 2 ( δ 2 a 2 + 7 ) = b ( 2 a + b ) . استنتج أنه يوجد عدد طبيعي k بحيث 2 a + b = k a 2 و δ 2 a 2 + 7 = k b . بيّن أن a = 1 ، ثم أن ( b + 1 ) 2 = δ 2 + 8 . حل المعادلة ( E ) في ( N ∗ ) 2 .

Une équation diophantienne avec PGCD

Difficile

نعتبر، في $(N^{*})^{2}$ ، المعادلة:

$(E) x^{2} (x^{2} + 7) = y (2 x + y)$

ليكن $(x, y) \in (N^{*})^{2}$ حلاً و $δ = x \land y$ . نضع $x = δ a$ و $y = δ b$ ، حيث $a \land b = 1$ .

تحقق من أن $a^{2} (δ^{2} a^{2} + 7) = b (2 a + b)$ .
استنتج أنه يوجد عدد طبيعي $k$ بحيث $2 a + b = k a^{2}$ و $δ^{2} a^{2} + 7 = k b$ .
بيّن أن $a = 1$ ، ثم أن $(b + 1)^{2} = δ^{2} + 8$ .
حل المعادلة $(E)$ في $(N^{*})^{2}$ .

— انقر للكشف

1 الإرشاد 1

عوّض $x$ بـ $\\delta a$ و $y$ بـ $\\delta b$ في $(E)$، ثم بسّط بالقسمة على $\\delta^2$ للحصول على العلاقة المطلوبة في السؤال 1.

2 الإرشاد 2

استعمل مبرهنة Gauss: إذا كان $a^2$ يقسم جداءً و $a^2\\wedge b=1$، فإن $a^2$ يقسم العامل الآخر.

3 الإرشاد 3

لإثبات أن $a=1$، عبّر عن $b$ بدلالة $a$ انطلاقا من $2a+b=ka^2$ واستعمل كون $a\\wedge b=1$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

عوّض $x$ بـ $d e l t aa$ و $y$ بـ $d e l t ab$ في $(E)$ ، ثم بسّط بالقسمة على $d e l t a^{2}$ للحصول على العلاقة المطلوبة في السؤال 1.

استعمل مبرهنة Gauss: إذا كان $a^{2}$ يقسم جداءً و $a^{2} w e d g e b = 1$ ، فإن $a^{2}$ يقسم العامل الآخر.

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

تمارين على نفس المفهوم

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points