Une équation diophantienne et le PGCD comme paramètre

نعتبر، في ${\left({\mathbb{N}}^{\ast }\right)}^2$، المعادلة:

$(E):x^2\left(x^2+7\right)=y(2x+y)$

لتكن $(x,y)\in {\left({\mathbb{N}}^{\ast }\right)}^2$ و $\delta =x\wedge y$. نضع $x=\delta a$ و $y=\delta b$، حيث $a\wedge b=1$.

1. نفترض أن $(x,y)$ حل للمعادلة $(E)$.

   1. تحقق من أن $a^2\left({\delta }^2{a}^2+7\right)=b(2a+b)$.

   2. استنتج أنه يوجد $k\in \mathbb{N}$ بحيث $2a+b=k{a}^2$ و ${\delta }^2{a}^2+7=kb$.

   3. بين أن $a=1$.

   4. استنتج أن $(b+1{)}^2={\delta }^2+8$.

2. حل في ${\left({\mathbb{N}}^{\ast }\right)}^2$ المعادلة $(E)$.