Divisibilité par $173$ et équation $x^3+y^3=173(xy+1)$

الجزء الأول

ليكن $a,b\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ بحيث $173$ يقسم $a^3+b^3$ (نقبل أن $173$ عدد أولي).

1. بيّن أن $a^{171}\equiv -b^{171}[173]$ (لاحظ أن $171=3\times 57$).

2. بيّن أن $173\mid a⟺173\mid b$.

3. نفترض أن $173\mid a$. بيّن أن $173\mid a+b$.

4. نفترض أن $173\nmid a$.

   a) بيّن أن $a^{172}\equiv b^{172}[173]$ (مبرهنة فيرما).

   b) استنتج أن $a^{171}(a+b)\equiv 0[173]$.

   c) استنتج أن $173\mid a+b$.

الجزء الثاني

نعتبر في ${\mathbb{N}}^{\ast }\times {\mathbb{N}}^{\ast }$ المعادلة $(E):x^3+y^3=173(xy+1)$. ليكن $(x,y)$ حلاً للمعادلة $(E)$.

1. بيّن أن $173$ يقسم $x+y$ (نضع إذن $x+y=173k$، $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$).

2. تحقق من أن $k(x-y{)}^2+(k-1)xy=1$.

3. بيّن أن $k=1$ وحل المعادلة $(E)$.