الجزء الأول نعتبر في Z × Z المعادلة ( E ) : 27 x − 65 y = 1 . تحقق من أن ( − 12 , − 5 ) حل للمعادلة ( E ) ، ثم حل ( E ) . حدد العدد الصحيح u ، مقلوب 27 بالنسبة للمعامل 65 ، الذي يحقق 1 ≤ u ≤ 64 . الجزء الثاني نعتبر في N المعادلة ( F ) : a 2023 ≡ 27 [ 65 ] . ليكن a حلاً للمعادلة ( F ) (لدينا 65 = 5 × 13 ). أثبت أن a ∧ 5 = 1 و a ∧ 13 = 1 ، ثم استنتج أن a 12 ≡ 1 [ 65 ] . ليكن d أصغر عدد طبيعي غير معدوم بحيث a d ≡ 1 [ 65 ] . a) تحقق من أن d يقسم 12 واستنتج أن d = 4 . b) أوجد باقي a 2 بالنسبة للمعامل 65 . أثبت أن a حل للمعادلة ( F ) إذا وفقط إذا كان a ≡ 53 [ 65 ] .

Inverse de $27$ modulo $65$ et équation $a^{2023}\equiv 27\ [65]$

Difficile

نعتبر في $Z \times Z$ المعادلة $(E) : 27 x - 65 y = 1$ .

تحقق من أن $(- 12, - 5)$ حل للمعادلة $(E)$ ، ثم حل $(E)$ .
حدد العدد الصحيح $u$ ، مقلوب $27$ بالنسبة للمعامل $65$ ، الذي يحقق $1 \leq u \leq 64$ .

نعتبر في $N$ المعادلة $(F) : a^{2023} \equiv 27 [65]$ . ليكن $a$ حلاً للمعادلة $(F)$ (لدينا $65 = 5 \times 13$ ).

أثبت أن $a \land 5 = 1$ و $a \land 13 = 1$ ، ثم استنتج أن $a^{12} \equiv 1 [65]$ .
ليكن $d$ أصغر عدد طبيعي غير معدوم بحيث $a^{d} \equiv 1 [65]$ .
a) تحقق من أن $d$ يقسم $12$ واستنتج أن $d = 4$ .
b) أوجد باقي $a^{2}$ بالنسبة للمعامل $65$ .
أثبت أن $a$ حل للمعادلة $(F)$ إذا وفقط إذا كان $a \equiv 53 [65]$ .

— انقر للكشف

1 الإرشاد 1

للتحقق من حل، عوض مباشرة $x$ و $y$ في $27x - 65y$ واحسب الناتج.

2 الإرشاد 2

لحل $(E)$، استعمل الحل الخاص الذي وجدته ومبرهنة گاوس مع $27 \wedge 65 = 1$.

3 الإرشاد 3

بالنسبة للجزء الثاني، استعمل مبرهنة فيرما الصغرى بشكل منفصل بترديد $5$ وبترديد $13$، ثم اجمع النتيجتين.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

للتحقق من حل، عوض مباشرة $x$ و $y$ في $27 x - 65 y$ واحسب الناتج.

لحل $(E)$ ، استعمل الحل الخاص الذي وجدته ومبرهنة گاوس مع $27 \land 65 = 1$ .

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

تمارين على نفس المفهوم

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points