Équation $143u-100v=1$ et congruence $x^{143}\equiv 3\ [101]$

الجزء الأول

حل في ${\mathbb{Z}}^2$ المعادلة $(E):143u-100v=1$.

الجزء الثاني

نعتبر في $\mathbb{N}$ المعادلة $(F):x^{143}\equiv 3[101]$. ليكن $x$ حلاً للمعادلة $(F)$.

1. a) بين أن $101$ عدد أولي وأن $x\wedge 101=1$.

   b) بين أن $x^{100}\equiv 1[101]$ وأن $x\equiv 3^7[101]$ (نلاحظ أن $143\times 7=1+100\times 10$).

2. بين عكسياً أنه إذا كان عدد طبيعي $x$ يحقق $x\equiv 3^7[101]$، فإن $x$ حل للمعادلة $(F)$.

3. استنتج أن حلول المعادلة $(F)$ هي الأعداد الصحيحة من الشكل $66+101k$، حيث $k\in \mathbb{N}$.