لتكن a ∈ N ∖ { 0 , 1 } . نضع X = 1 + a + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 . ليكن p قاسماً أولياً موجباً لـ X . a) بيّن أن a 7 ≡ 1 [ p ] ، ثم استنتج أن ∀ n ∈ N , a 7 n ≡ 1 [ p ] . b) بيّن أن p ∧ a = 1 ، ثم استنتج أن ∀ m ∈ N , a ( p − 1 ) m ≡ 1 [ p ] . نفترض أن 7 لا يقسم p − 1 . a) بيّن أنه يوجد ( m , n ) ∈ N 2 بحيث ( p − 1 ) m − 7 n = 1 ، ثم استنتج أن a ≡ 1 [ p ] . b) بيّن أن p = 7 . استنتج أن كل قاسم أولي p لـ X يحقق p = 7 أو p ≡ 1 [ 7 ] .

Diviseurs premiers de $X=1+a+a^2+\dots+a^6$

Difficile

لتكن $a \in N ∖ {0, 1}$ . نضع $X = 1 + a + a^{2} + a^{3} + a^{4} + a^{5} + a^{6}$ . ليكن $p$ قاسماً أولياً موجباً لـ $X$ .

a) بيّن أن $a^{7} \equiv 1 [p]$ ، ثم استنتج أن $\forall n \in N, a^{7 n} \equiv 1 [p]$ .
b) بيّن أن $p \land a = 1$ ، ثم استنتج أن $\forall m \in N, a^{(p - 1) m} \equiv 1 [p]$ .
نفترض أن $7$ لا يقسم $p - 1$ .
a) بيّن أنه يوجد $(m, n) \in N^{2}$ بحيث $(p - 1) m - 7 n = 1$ ، ثم استنتج أن $a \equiv 1 [p]$ .
b) بيّن أن $p = 7$ .
استنتج أن كل قاسم أولي $p$ لـ $X$ يحقق $p = 7$ أو $p \equiv 1 [7]$ .

— انقر للكشف

1 الإرشاد 1

Remarque l'identite $(a-1)X = a^7-1$ pour relier $X$ et $a^7-1$.

2 الإرشاد 2

Utilise le petit theoreme de Fermat une fois que tu as montre que $p$ et $a$ sont premiers entre eux.

3 الإرشاد 3

Combine les deux congruences sur $a$ (ordre divisant 7 et ordre divisant $p-1$) avec Bezout pour conclure sur $a$ modulo $p$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Remarque l'identite $(a - 1) X = a^{7} - 1$ pour relier $X$ et $a^{7} - 1$ .

Utilise le petit theoreme de Fermat une fois que tu as montre que $p$ et $a$ sont premiers entre eux.

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

تمارين على نفس المفهوم

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points