الجزء الأول ليكن a و b عددين صحيحين من N ∗ بحيث a ∧ b = 1 ، وليكن p قاسماً أولياً لـ a 4 + b 4 مع p ≥ 3 . a) بيّن أن a ∧ p = 1 . b) استنتج أنه يوجد m ∈ Z بحيث am ≡ 1 [ p ] (استعمل متطابقة بيزو). a) بيّن أنه يوجد x ∈ Z بحيث x 4 ≡ − 1 [ p ] (لاحظ أن b 4 ≡ − a 4 [ p ] ). b) بيّن أن x ∧ p = 1 واستنتج أن x p − 1 ≡ 1 [ p ] . نضع p = 2 k + 1 مع k ∈ N ∗ . a) بيّن أن ( − 1 ) k ≡ 1 [ p ] ، ثم استنتج أن p = 4 n + 1 مع n ∈ N ∗ . الجزء الثاني نعتبر في N ∗ × N ∗ المعادلة ( E ) : x 4 + y 4 = 1297 × 1 9 4 . نضع d = x ∧ y ، x = d a و y = d b . تحقق من أن 1297 عدد أولي وبيّن أن d = 19 . حدد الأزواج ( a , b ) من N ∗ × N ∗ بحيث a 4 + b 4 = 1297 و a ∧ b = 1 (يُعطى 4 1296 = 6 ). استنتج حلول ( E ) .

Diviseurs premiers de $a^4+b^4$ et équation $x^4+y^4=1297\times 19^4$

Difficile

ليكن $a$ و $b$ عددين صحيحين من $N^{*}$ بحيث $a \land b = 1$ ، وليكن $p$ قاسماً أولياً لـ $a^{4} + b^{4}$ مع $p \geq 3$ .

a) بيّن أن $a \land p = 1$ .
b) استنتج أنه يوجد $m \in Z$ بحيث $am \equiv 1 [p]$ (استعمل متطابقة بيزو).
a) بيّن أنه يوجد $x \in Z$ بحيث $x^{4} \equiv - 1 [p]$ (لاحظ أن $b^{4} \equiv - a^{4} [p]$ ).
b) بيّن أن $x \land p = 1$ واستنتج أن $x^{p - 1} \equiv 1 [p]$ .
نضع $p = 2 k + 1$ مع $k \in N^{*}$ .
a) بيّن أن $(- 1)^{k} \equiv 1 [p]$ ، ثم استنتج أن $p = 4 n + 1$ مع $n \in N^{*}$ .

نعتبر في $N^{*} \times N^{*}$ المعادلة $(E) : x^{4} + y^{4} = 1297 \times 1 9^{4}$ . نضع $d = x \land y$ ، $x = d a$ و $y = d b$ .

تحقق من أن $1297$ عدد أولي وبيّن أن $d = 19$ .
حدد الأزواج $(a, b)$ من $N^{*} \times N^{*}$ بحيث $a^{4} + b^{4} = 1297$ و $a \land b = 1$ (يُعطى $41296 = 6$ ).
استنتج حلول $(E)$ .

— انقر للكشف

1 الإرشاد 1

الجزء الأول: ابدأ بالبرهان بالخلف لإثبات $a\wedge p=1$، ثم استعمل متطابقة بيزو لإيجاد $m$ بحيث $am\equiv 1\ [p]$.

2 الإرشاد 2

بعد ذلك اضرب العلاقة $b^4\equiv -a^4\ [p]$ في $m^4$ للحصول على $x^4\equiv -1\ [p]$ مع $x=mb$، ثم طبق مبرهنة فيرما الصغرى.

3 الإرشاد 3

الجزء الثاني: أثبت أولا أن $1297$ عدد أولي باختبار القواسم الأولية إلى غاية $\sqrt{1297}$، ثم استعمل أن $d^4$ يقسم $1297\times 19^4$ لإيجاد $d$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

الجزء الأول: ابدأ بالبرهان بالخلف لإثبات $a \land p = 1$ ، ثم استعمل متطابقة بيزو لإيجاد $m$ بحيث $am \equiv 1 [p]$ .

بعد ذلك اضرب العلاقة $b^{4} \equiv - a^{4} [p]$ في $m^{4}$ للحصول على $x^{4} \equiv - 1 [p]$ مع $x = mb$ ، ثم طبق مبرهنة فيرما الصغرى.

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

تمارين على نفس المفهوم

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points