خاصية حسابية لـ X = i = 0 ∑ 6 a i لتكن a ∈ N ∖ { 0 , 1 } و X = 1 + a + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 . لتكن p قاسماً أولياً موجباً لـ X . بيّن أن a 7 ≡ 1 [ p ] ، ثم أن p ∧ a = 1 . نفترض أن 7 لا يقسم p − 1 . بيّن أنه يوجد ( m , n ) ∈ N 2 بحيث ( p − 1 ) m − 7 n = 1 ، ثم استنتج أن a ≡ 1 [ p ] وأخيراً أن p = 7 . استنتج أن كل قاسم أولي p لـ X يحقق p = 7 أو p ≡ 1 [ 7 ] .

Diviseurs premiers de $1+a+a^2+\dots+a^6$

Difficile

لتكن $a \in N ∖ {0, 1}$ و $X = 1 + a + a^{2} + a^{3} + a^{4} + a^{5} + a^{6}$ . لتكن $p$ قاسماً أولياً موجباً لـ $X$ .

بيّن أن $a^{7} \equiv 1 [p]$ ، ثم أن $p \land a = 1$ .
نفترض أن $7$ لا يقسم $p - 1$ . بيّن أنه يوجد $(m, n) \in N^{2}$ بحيث $(p - 1) m - 7 n = 1$ ، ثم استنتج أن $a \equiv 1 [p]$ وأخيراً أن $p = 7$ .
استنتج أن كل قاسم أولي $p$ لـ $X$ يحقق $p = 7$ أو $p \equiv 1 [7]$ .

— انقر للكشف

1 الإرشاد 1

لاحظ أن $(a-1)X=a^7-1$: هذا يربط مباشرة بين $X$ و $a^7-1$ بترديد $p$.

2 الإرشاد 2

من أجل السؤال 2، استعمل مبرهنة فيرما الصغرى ($a^{p-1}\equiv 1\ [p]$) مع $a^7\equiv 1\ [p]$ ومتطابقة بيزو بين $p-1$ و $7$.

3 الإرشاد 3

بمجرد أن يصبح $a\equiv 1\ [p]$، أعد تقييم $X$ بترديد $p$: يصبح مجموع 7 حدود كلها متوافقة مع $1$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

لاحظ أن $(a - 1) X = a^{7} - 1$ : هذا يربط مباشرة بين $X$ و $a^{7} - 1$ بترديد $p$ .

من أجل السؤال 2، استعمل مبرهنة فيرما الصغرى ( $a^{p - 1} \equiv 1 [p]$ ) مع $a^{7} \equiv 1 [p]$ ومتطابقة بيزو بين $p - 1$ و $7$ .

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

تمارين على نفس المفهوم

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points