المربعات الكاملة modulo 8 لتكن n عددًا طبيعيًا. أثبت أنه إذا كان n فرديًا، فإن n 2 ≡ 1 [ 8 ] ، وأنه إذا كان n زوجيًا، فإن n 2 ≡ 0 [ 8 ] أو n 2 ≡ 4 [ 8 ] . لتكن a , b , c ثلاثة أعداد طبيعية فردية. أثبت أن a 2 + b 2 + c 2 ليس مربعًا كاملاً. أثبت أن 2 ( ab + b c + a c ) ≡ 6 [ 8 ] (يمكن استخدام ( a + b + c ) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2 ( ab + b c + a c ) ). استنتج أن ab + b c + a c ليس مربعًا كاملاً.

Carrés parfaits et somme de produits modulo 8

Intermédiaire

Énoncé

المربعات الكاملة modulo 8

لتكن $n$ عددًا طبيعيًا.

أثبت أنه إذا كان $n$ فرديًا، فإن $n^{2} \equiv 1 [8]$ ، وأنه إذا كان $n$ زوجيًا، فإن $n^{2} \equiv 0 [8]$ أو $n^{2} \equiv 4 [8]$ .
لتكن $a, b, c$ ثلاثة أعداد طبيعية فردية.
1. أثبت أن $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ ليس مربعًا كاملاً.
2. أثبت أن $2 (ab + b c + a c) \equiv 6 [8]$ (يمكن استخدام $(a + b + c)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 (ab + b c + a c)$ ).
3. استنتج أن $ab + b c + a c$ ليس مربعًا كاملاً.

إرشادات

— انقر للكشف

1 الإرشاد 1

Pour la première partie, écris $n$ impair sous la forme $n=2m+1$, puis développe $n^2$ et montre que $m(m+1)$ est toujours pair. Pour $n$ pair, distingue si $n=2m$ avec $m$ pair ou impair.

2 الإرشاد 2

Pour montrer que $a^2+b^2+c^2$ n'est pas un carré parfait, calcule d'abord sa valeur modulo $8$ en utilisant que $a$, $b$ et $c$ sont impairs, puis compare avec les valeurs possibles $\{0,1,4\}$ pour un carré parfait.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Demander à Prof Hicham

الطريقة — من أين نبدأ

Pour la première partie, écris $n$ impair sous la forme $n = 2 m + 1$ , puis développe $n^{2}$ et montre que $m (m + 1)$ est toujours pair. Pour $n$ pair, distingue si $n = 2 m$ avec $m$ pair ou impair.

Pour montrer que $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ n'est pas un carré parfait, calcule d'abord sa valeur modulo $8$ en utilisant que $a$ , $b$ et $c$ sont impairs, puis compare avec les valeurs possibles ${0, 1, 4}$ pour un carré parfait.

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

تمارين على نفس المفهوم

Exercice Terminé? 🎉

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points

Une équation diophantienne avec PGCD كل تمارين الدرس Bézout et petit théorème de Fermat

Carrés parfaits et somme de produits modulo 8

Énoncé

المربعات الكاملة modulo 8

إرشادات

الطريقة — من أين نبدأ

Correction détaillée

افتح التصحيح الكامل

Exercice Terminé? 🎉

Carrés parfaits et somme de produits modulo 8

Énoncé

المربعات الكاملة modulo 8

إرشادات

الطريقة — من أين نبدأ

Correction détaillée

افتح التصحيح الكامل

Exercice Terminé? 🎉

Valider votre réponse

لقد شاهدت 5 تمارين اليوم 🎯