لتكن n عددا طبيعيا. a) بيّن أنه إذا كان n فرديا، فإن n 2 ≡ 1 [ 8 ] . b) بيّن أنه إذا كان n زوجيا، فإن n 2 ≡ 0 [ 8 ] أو n 2 ≡ 4 [ 8 ] . لتكن a , b , c ثلاثة أعداد طبيعية فردية. بيّن أن a 2 + b 2 + c 2 ليس مربعا كاملا. بيّن أن 2 ( ab + b c + a c ) ≡ 6 [ 8 ] . استنتج أن 2 ( ab + b c + a c ) ليس مربعا كاملا. بيّن أن ab + b c + a c ليس مربعا كاملا.

Carrés parfaits modulo 8 avec trois entiers impairs

Intermédiaire

Énoncé

لتكن $n$ عددا طبيعيا.

a) بيّن أنه إذا كان $n$ فرديا، فإن $n^{2} \equiv 1 [8]$ .
b) بيّن أنه إذا كان $n$ زوجيا، فإن $n^{2} \equiv 0 [8]$ أو $n^{2} \equiv 4 [8]$ .
لتكن $a, b, c$ ثلاثة أعداد طبيعية فردية.
1. بيّن أن $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ ليس مربعا كاملا.
2. بيّن أن $2 (ab + b c + a c) \equiv 6 [8]$ .
3. استنتج أن $2 (ab + b c + a c)$ ليس مربعا كاملا.
4. بيّن أن $ab + b c + a c$ ليس مربعا كاملا.

إرشادات

— انقر للكشف

1 الإرشاد 1

Pour la question a), écris $n$ sous la forme $n=2m+1$ puisqu'il est impair, puis développe $n^2$. Tu verras apparaître un facteur $4m(m+1)$ : réfléchis pourquoi le produit de deux entiers consécutifs est toujours pair.

2 الإرشاد 2

Pour montrer que $a^2+b^2+c^2$ n'est pas un carré parfait, suppose par l'absurde que $a^2+b^2+c^2=n^2$ et utilise les congruences modulo $8$ trouvées en question 1 : combien vaut $a^2+b^2+c^2\pmod{8}$ ? Et $n^2\pmod{8}$ ?

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Demander à Prof Hicham

الطريقة — من أين نبدأ

Pour la question a), écris $n$ sous la forme $n = 2 m + 1$ puisqu'il est impair, puis développe $n^{2}$ . Tu verras apparaître un facteur $4 m (m + 1)$ : réfléchis pourquoi le produit de deux entiers consécutifs est toujours pair.

Pour montrer que $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ n'est pas un carré parfait, suppose par l'absurde que $a^{2} + b^{2} + c^{2} = n^{2}$ et utilise les congruences modulo $8$ trouvées en question 1 : combien vaut $a^{2} + b^{2} + c^{2} (mod 8)$ ? Et $n^{2} (mod 8)$ ?

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

تمارين على نفس المفهوم

Exercice Terminé? 🎉

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points

Une équation diophantienne et le PGCD comme paramètre كل تمارين الدرس Résolution d'une congruence x^35 ≡ 2 modulo 97

Carrés parfaits modulo 8 avec trois entiers impairs

Énoncé

إرشادات

الطريقة — من أين نبدأ

Correction détaillée

افتح التصحيح الكامل

Exercice Terminé? 🎉

Carrés parfaits modulo 8 avec trois entiers impairs

Énoncé

إرشادات

الطريقة — من أين نبدأ

Correction détaillée

افتح التصحيح الكامل

Exercice Terminé? 🎉

Valider votre réponse

لقد شاهدت 5 تمارين اليوم 🎯