نص التمرين ليكن a , b ∈ Z أوليان فيما بينهما. نضع c = a 4 + b 4 . a) ليكن x ∈ Z . أثبت أنه إذا كان x زوجيا فإن x 4 ≡ 0 [ 16 ] ، وأنه إذا كان x فرديا فإن x 4 ≡ 1 [ 16 ] . (نذكر أن ( X + 1 ) 4 = X 4 + 4 X 3 + 6 X 2 + 4 X + 1 .) b) استنتج أن c ≡ 1 [ 16 ] أو c ≡ 2 [ 16 ] . ليكن p عددا أوليا بحيث p ∣ c و p > 2 . a) أثبت أن a ∧ p = 1 . b) أثبت أنه يوجد k ∈ Z بحيث k a ≡ 1 [ p ] . c) استنتج أنه يوجد q ∈ Z بحيث q 4 + 1 ≡ 0 [ p ] .

Puissances quatrièmes modulo 16 et diviseurs premiers

Difficile

ليكن $a, b \in Z$ أوليان فيما بينهما. نضع $c = a^{4} + b^{4}$ .

a) ليكن $x \in Z$ . أثبت أنه إذا كان $x$ زوجيا فإن $x^{4} \equiv 0 [16]$ ، وأنه إذا كان $x$ فرديا فإن $x^{4} \equiv 1 [16]$ . (نذكر أن $(X + 1)^{4} = X^{4} + 4 X^{3} + 6 X^{2} + 4 X + 1$ .)
b) استنتج أن $c \equiv 1 [16]$ أو $c \equiv 2 [16]$ .
ليكن $p$ عددا أوليا بحيث $p ∣ c$ و $p > 2$ .
a) أثبت أن $a \land p = 1$ .
b) أثبت أنه يوجد $k \in Z$ بحيث $k a \equiv 1 [p]$ .
c) استنتج أنه يوجد $q \in Z$ بحيث $q^{4} + 1 \equiv 0 [p]$ .

— انقر للكشف

1 الإرشاد 1

بالنسبة للسؤال 1أ، استعمل المتطابقة المذكورة $(X+1)^4 = X^4+4X^3+6X^2+4X+1$ بوضع $x = 2t$ أو $x = 2t+1$ حسب الزوجية.

2 الإرشاد 2

بالنسبة للسؤال 1ب، ميز الحالات حسب زوجية $a$ و $b$ (مع العلم أنهما لا يمكن أن يكونا زوجيين معا لأن $a \wedge b = 1$).

3 الإرشاد 3

بالنسبة للسؤال 2، استعمل مبرهنة بيزو لتبرير وجود $k$، ثم اضرب العلاقة $a^4+b^4 \equiv 0\,[p]$ في $k^4$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

بالنسبة للسؤال 1أ، استعمل المتطابقة المذكورة $(X + 1)^{4} = X^{4} + 4 X^{3} + 6 X^{2} + 4 X + 1$ بوضع $x = 2 t$ أو $x = 2 t + 1$ حسب الزوجية.

بالنسبة للسؤال 1ب، ميز الحالات حسب زوجية $a$ و $b$ (مع العلم أنهما لا يمكن أن يكونا زوجيين معا لأن $a \land b = 1$ ).

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

تمارين على نفس المفهوم

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points