لكل n ∈ N ∗ ، نضع a n = n مرات 33 … 3 1 (الرقم 3 مكرر n مرة، متبوعًا بالرقم 1 ). تحقق من أن a 1 و a 2 أوليان. بين أنه لكل n ∈ N ∗ : 3 a n + 7 = 1 0 n + 1 . بين أنه لكل k ∈ N ∗ : 1 0 30 k + 2 ≡ 7 [ 31 ] . بين أنه لكل k ∈ N ∗ : 3 a 30 k + 1 ≡ 0 [ 31 ] ، ثم استنتج أن 31 يقسم a 30 k + 1 .

Les nombres 33...31 et la divisibilité par 31

Difficile

لكل $n \in N^{*}$ ، نضع $a_{n} = n مرات 33 \dots 3 1$ (الرقم $3$ مكرر $n$ مرة، متبوعًا بالرقم $1$ ).

تحقق من أن $a_{1}$ و $a_{2}$ أوليان.
بين أنه لكل $n \in N^{*}$ : $3 a_{n} + 7 = 1 0^{n + 1}$ .
بين أنه لكل $k \in N^{*}$ : $1 0^{30 k + 2} \equiv 7 [31]$ .
بين أنه لكل $k \in N^{*}$ : $3 a_{30 k + 1} \equiv 0 [31]$ ، ثم استنتج أن $31$ يقسم $a_{30 k + 1}$ .

— انقر للكشف

1 الإرشاد 1

لإثبات الأولية، اختبر القسمة على الأعداد الأولية الأصغر من الجذر التربيعي.

2 الإرشاد 2

لإثبات العلاقة، احسب $3a_n$ ثم أضف $7$ للتعرف على قوة لـ $10$.

3 الإرشاد 3

استعمل مبرهنة فيرما الصغرى: $10^{30}\equiv 1\ [31]$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

لإثبات الأولية، اختبر القسمة على الأعداد الأولية الأصغر من الجذر التربيعي.

لإثبات العلاقة، احسب $3 a_{n}$ ثم أضف $7$ للتعرف على قوة لـ $10$ .

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

تمارين على نفس المفهوم

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points