أثبت أن حلول المعادلة ( E ) : 35 u − 96 v = 1 في Z 2 هي الأزواج ( 96 k + 11 , 35 k + 4 ) ، حيث k ∈ Z . نعتبر في N المعادلة ( F ) : x 35 ≡ 2 [ 97 ] . لتكن x حلاً للمعادلة ( F ) . أثبت أن 97 عدد أولي وأن x ∧ 97 = 1 ، ثم استنتج أن x 96 ≡ 1 [ 97 ] . أثبت أن x ≡ 2 11 [ 97 ] . بالعكس، أثبت أنه إذا كان x ≡ 2 11 [ 97 ] فإن x حل للمعادلة ( F ) . استنتج أن حلول المعادلة ( F ) هي الأعداد الصحيحة من الشكل 11 + 97 k ، حيث k ∈ N .

Résolution d'une congruence x^35 ≡ 2 modulo 97

Difficile

أثبت أن حلول المعادلة $(E) : 35 u - 96 v = 1$ في $Z^{2}$ هي الأزواج $(96 k + 11, 35 k + 4)$ ، حيث $k \in Z$ .
نعتبر في $N$ المعادلة $(F) : x^{35} \equiv 2 [97]$ .
1. لتكن $x$ حلاً للمعادلة $(F)$ . أثبت أن $97$ عدد أولي وأن $x \land 97 = 1$ ، ثم استنتج أن $x^{96} \equiv 1 [97]$ .
2. أثبت أن $x \equiv 2^{11} [97]$ .
3. بالعكس، أثبت أنه إذا كان $x \equiv 2^{11} [97]$ فإن $x$ حل للمعادلة $(F)$ .
4. استنتج أن حلول المعادلة $(F)$ هي الأعداد الصحيحة من الشكل $11 + 97 k$ ، حيث $k \in N$ .

— انقر للكشف

1 الإرشاد 1

بالنسبة للسؤال 1، استعمل خوارزمية إقليدس على $96$ و $35$، ثم اصعد الخطوات للتعبير عن $1$ كتوليفة من $35$ و $96$.

2 الإرشاد 2

بالنسبة للسؤال 2.a، بين أن $97\nmid x$ ثم طبق مبرهنة فيرما الصغرى على $x$.

3 الإرشاد 3

لربط $x^{35}\equiv 2\ [97]$ بـ $x\equiv 2^{11}\ [97]$، ارفع التطابق إلى القوة $11$ واستعمل $35\times 11=96\times 4+1$ مع $x^{96}\equiv 1\ [97]$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

بالنسبة للسؤال 1، استعمل خوارزمية إقليدس على $96$ و $35$ ، ثم اصعد الخطوات للتعبير عن $1$ كتوليفة من $35$ و $96$ .

بالنسبة للسؤال 2.a، بين أن $97 ∤ x$ ثم طبق مبرهنة فيرما الصغرى على $x$ .

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

تمارين على نفس المفهوم

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points