Les nombres 44...4 et un multiple de 2012 n'utilisant que le chiffre 4

لكل $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$، ليكن $u_n=\underset{n\text{مرة}}{\underbrace{44\dots 4}}$ (الرقم $4$ مكرر $n$ مرة).

1. تحقق من أن $9u_n=4\left(10^n-1\right)$.

2. بين أن $u_n\equiv 0[2012]⟺10^n\equiv 1[503]$.

3. بين أنه يوجد $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ بحيث $10^k\equiv 1[503]$.

4. استنتج أن $2012$ يقبل مضاعفاً كتابته العشرية تستعمل فقط الرقم $4$.