لتكن N عدداً طبيعياً كتابته العشرية هي N = 2010 مرة 11 … 1 (2010 رقماً يساوي 1 ). بيّن أن N قابل للقسمة على 11 . أ) تحقق من أن 2011 عدد أولي وأن 1 0 2010 − 1 = 9 N . ب) بيّن أن 2011 يقسم 9 N . ج) استنتج أن 2011 يقسم N . بيّن أن N قابل للقسمة على 22121 .

Le répunit à 2010 chiffres et ses diviseurs premiers

Difficile

لتكن $N$ عدداً طبيعياً كتابته العشرية هي $N = 2010 مرة 11 \dots 1$ (2010 رقماً يساوي $1$ ).

بيّن أن $N$ قابل للقسمة على $11$ .
أ) تحقق من أن $2011$ عدد أولي وأن $1 0^{2010} - 1 = 9 N$ .
ب) بيّن أن $2011$ يقسم $9 N$ .
ج) استنتج أن $2011$ يقسم $N$ .
بيّن أن $N$ قابل للقسمة على $22121$ .

— انقر للكشف

1 الإرشاد 1

من أجل السؤال 1، جمّع أرقام $N$ اثنين اثنين، أو استعمل $10\equiv -1\pmod{11}$ ومجموعاً متناوباً.

2 الإرشاد 2

من أجل السؤال 2، اكتب $N$ كمجموع هندسي لإيجاد $9N=10^{2010}-1$، ثم طبق مبرهنة فيرما الصغرى مع العدد الأولي $2011$.

3 الإرشاد 3

للاستنتاج، استعمل مبرهنة غاوس (2011 أولي مع 9) للانتقال من $2011\mid 9N$ إلى $2011\mid N$، ثم اجمع مع السؤال 1 ملاحظاً أن $22121=11\times 2011$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

من أجل السؤال 1، جمّع أرقام $N$ اثنين اثنين، أو استعمل $10 \equiv - 1 (mod 11)$ ومجموعاً متناوباً.

من أجل السؤال 2، اكتب $N$ كمجموع هندسي لإيجاد $9 N = 1 0^{2010} - 1$ ، ثم طبق مبرهنة فيرما الصغرى مع العدد الأولي $2011$ .

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

تمارين على نفس المفهوم

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points