Sommes de deux carrés et nombres premiers $\equiv 3\ [4]$

الجزء 1

لتكن $p$ عددًا أوليًا بحيث $p=4k+3$ مع $k\in \mathbb{N}$، ولتكن $x\in \mathbb{Z}$ بحيث $x^2+1\equiv 0[p]$.

1. a) تحقق من أن $x^{4k+2}\equiv -1[p]$.

   b) بيّن أن $p\wedge x=1$، ثم استنتج أن $x^{4k+2}\equiv 1[p]$.

   c) استنتج أن المعادلة $x^2+1\equiv 0[p]$ لا تقبل أي حل في $\mathbb{Z}$.

الجزء 2

لتكن $p$ عددًا أوليًا بحيث $p=4k+3$ و $(a,b)\in {\mathbb{Z}}^2$ بحيث $a^2+b^2\equiv 0[p]$.

1. a) نفترض أن $p$ لا يقسم $a$. بيّن أن $b^{4k+2}+1\equiv 0[p]$.

   b) استنتج أن $a^2+b^2\equiv 0[p]⟺(a\equiv 0[p]\text{ و }b\equiv 0[p])$.

2. لتكن $(a,b)\in {\mathbb{Z}}^2$ بحيث $a\wedge b=1$ ولتكن $p$ قاسمًا أوليًا لـ $a^2+b^2$ مع $p\ge 3$. بيّن أن $p\equiv 1[4]$.