Aire d'un domaine et primitive d'une fonction logarithmique

المعطيات

لتكن $f$ الدالة المعرفة على $\left]0;+\infty \right[$ بـ $f(x)=\frac{1+\ln x}{x^2}$، ومنحناها $(C_f)$ في معلم متعامد ومتجانس (الوحدة $1$ سم). من أجل $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$، نرمز بـ $I_n$ لمساحة المجال المحدود بـ $(C_f)$، والمحور $(Ox)$ والمستقيمين $x=\frac{1}{e}$ و $x=n$.

1. بين أن $F:x\mapsto \frac{-2-\ln x}{x}$ دالة أصلية لـ $f$ على $\left]0;+\infty \right[$.
2. بين أنه من أجل كل $x\in \left[\frac{1}{e};+\infty \right[$ : $f(x)\ge 0$.
3. احسب $I_n$ بدلالة $n$ ثم عين $\underset{n\to +\infty }{\lim }{I}_n$.