نص التمرين لتكن F معرفة على I = ] 0 ; + ∞ [ بـ F ( x ) = l n 2 ∫ x e t − 1 d t . بين أن F قابلة للاشتقاق على I واحسب F ′ ( x ) ، ثم استنتج أن F متزايدة تماماً. باستعمال تغيير المتغير u = e t − 1 ، بين أنه من أجل كل x ∈ I : F ( x ) = 2 arctan ( e x − 1 ) − 2 π . احسب x → + ∞ lim F ( x ) و x → 0 + lim F ( x ) .

Intégrale et changement de variable conduisant à arctan

Difficile

لتكن $F$ معرفة على $I =] 0; + \infty [$ بـ $F (x) = l n 2 \int x \frac{d t}{e ^{t} - 1}$ .

بين أن $F$ قابلة للاشتقاق على $I$ واحسب $F^{'} (x)$ ، ثم استنتج أن $F$ متزايدة تماماً.
باستعمال تغيير المتغير $u = e^{t} - 1$ ، بين أنه من أجل كل $x \in I$ : $F (x) = 2 arctan (e^{x} - 1) - \frac{π}{2}$ .
احسب $x \to + \infty lim F (x)$ و $x \to 0^{+} lim F (x)$ .

— انقر للكشف

1 الإرشاد 1

بالنسبة للسؤال 1، استعمل النظرية الأساسية للتحليل: مشتقة الدالة الأصلية هي الدالة المكاملة نفسها.

2 الإرشاد 2

بالنسبة للسؤال 2، ضع $u = \sqrt{e^t-1}$، وعبّر عن $e^t$ و $dt$ والحدود الجديدة بدلالة $u$.

3 الإرشاد 3

يؤول التكامل بدلالة $u$ إلى $\int \dfrac{du}{u^2+1}$، ودالته الأصلية هي $\arctan u$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

بالنسبة للسؤال 1، استعمل النظرية الأساسية للتحليل: مشتقة الدالة الأصلية هي الدالة المكاملة نفسها.

بالنسبة للسؤال 2، ضع $u = e^{t} - 1$ ، وعبّر عن $e^{t}$ و $d t$ والحدود الجديدة بدلالة $u$ .

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

تمارين على نفس المفهوم

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points