تكامل بالأجزاء المتتالية ومتتالية

التمرين 5

لكل عدد طبيعي $n$، نعرف المتتالية ($I_n$) بـ:

$I_n=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^n\times e^{x}dx$.

1. احسب $I_0$ و $I_1$.
2. بين أنه لكل عدد صحيح $n\ge 1$ : $I_n=e-n\times I_{n-1}$. (استعمل التكامل بالتجزيء.)
3. احسب $I_2$ و $I_3$.
4. بين بالترجع أنه لكل عدد صحيح $n\ge 0$ : $I_n>0$.
5. بين أن المتتالية ($I_n$) متناقصة من أجل $n\ge 0$. استنتج نهاية $I_n$ عندما $n\to +\infty$، مع التبرير بعناية.