Étude d'une fonction et calcul d'aire — Contexte économique

Exercice 5

Une entreprise basée à Casablanca modélise son bénéfice journalier (en milliers de dirhams) au cours d'une période de travail de $t$ heures ($t\in [0;4]$) par la fonction :

$f(t)=(t-2)e^{-t/2}+1$.

Partie A — Étude de f

1. Calculer $f^{\prime }(t)$ et étudier son signe sur $[0;4]$. En déduire le tableau de variations de $f$ sur $[0;4]$.
2. Montrer que $f$ s'annule en exactement un point $t_0\in [0;2[$. On admettra que $t_0\approx 0,84$.

Partie B — Calcul d'aires

3. Montrer que la fonction $G$ définie par $G(t)=-(2t)e^{-t/2}+t$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$.
4. Calculer l'aire $A_1$ de la région délimitée par la courbe de $f$, l'axe des abscisses sur l'intervalle $[t_0;4]$ (on exprimera le résultat en fonction de $e$).
5. En utilisant la relation de Chasles et le résultat précédent, calculer l'intégrale $\underset{0}{\overset{4}{\int }}f(t)dt$. Interpréter économiquement ce résultat.